Построение линейного тренда. Расчет параметров уравнения тренда
Кривые роста, описывающие закономерности развития явлений во времени – это результат аналитического выравнивания динамических рядов. Выравнивание ряда с помощью тех или иных функций в большинстве случаев оказывается удобным средством описания эмпирических данных. Это средство при соблюдении ряда условий можно применить и для прогнозирования. Процесс выравнивания состоит из следующих основных этапов:
Выбора типа кривой, форма которой соответствует характеру изменения динамического ряда;
Определения численных значений (оценка) параметров кривой;
Апостериорного контроля качества выбранного тренда.
В современных ППП все перечисленные этапы реализуются одновременно, как правило, в рамках одной процедуры.
Аналитическое сглаживание с использованием той или иной функции позволяет получить выровненные, или, как их иногда не вполне правомерно называют, теоретические значения уровней динамического ряда, т. е. уровни, которые наблюдались бы, если бы динамика явления полностью совпадала с кривой. Эта же функция с некоторой корректировкой или без нее, применяется в качестве модели для экстраполяции (прогноза).
Вопрос о выборе типа кривой является основным при выравнивании ряда. При всех прочих равных условиях ошибка в решении этого вопроса оказывается более значимой по своим последствиям (особенно для прогнозирования), чем ошибка, связанная со статистическим оцениванием параметров.
Поскольку форма тренда объективно существует, то при выявлении ее следует исходить из материальной природы изучаемого явления, исследуя внутренние причины его развития, а также внешние условия и факторы на него влияющие. Только после глубокого содержательного анализа можно переходить к использованию специальных приемов, разработанных статистикой.
Весьма распространенным приемом выявления формы тренда является графическое изображение временного ряда. Но при этом велико влияние субъективного фактора, даже при отображении выровненных уровней.
Наиболее надежные методы выбора уравнения тренда основаны на свойствах различных кривых, применяемых при аналитическом выравнивании. Такой подход позволяет увязать тип тренда с теми или иными качественными свойствами развития явления. Нам представляется, что в большинстве случаев практически приемлемым является метод, который основывается на сравнении характеристик изменения приростов исследуемого динамического ряда с соответствующими характеристиками кривых роста. Для выравнивания выбирается та кривая, закон изменения прироста которой наиболее близок к закономерности изменения фактических данных.
При выборе формы кривой надо иметь в виду еще одно обстоятельство. Рост сложности кривой в целом ряде случаев может действительно увеличить точность описания тренда в прошлом, однако в связи с тем, что более сложные кривые содержат большее число параметров и более высокие степени независимой переменной, их доверительные интервалы будут, в общем, существенно шире, чем у более простых кривых при одном и том же периоде упреждения.
В настоящее время, когда использование специальных программ без особых усилий позволяет одновременно строить несколько видов уравнений, широко эксплуатируются формальные статистические критерии для определения лучшего уравнения тренда.
Из сказанного выше, по-видимому, можно сделать вывод о том, что выбор формы кривой для выравнивания представляет собой задачу, которая не решается однозначно, а сводится к получению ряда альтернатив. Окончательный выбор не может лежать в области формального анализа, тем более, если предполагается с помощью выравнивания не только статистически описать закономерность поведения уровня в прошлом, но и экстраполировать найденную закономерность в будущее. Вместе с тем различные статистические приемы обработки данных наблюдения могут принести существенную пользу, по крайней мере, с их помощью можно отвергнуть заведомо непригодные варианты и тем самым существенно ограничить поле выбора.
Рассмотрим наиболее используемые типы уравнений тренда:
1. Линейная форма тренда:
где – уровень ряда, полученный в результате выравнивания по прямой; – начальный уровень тренда; – средний абсолютный прирост, константа тренда.
Для линейной формы тренда характерно равенство так называемых первых разностей (абсолютных приростов) и нулевые вторые разности, т. е. ускорения.
2. Параболическая (полином 2-ой степени) форма тренда:
(3.6)
Для данного типа кривой постоянными являются вторые разности (ускорение), а нулевыми – третьи разности.
Параболическая форма тренда соответствует ускоренному или замедленному изменению уровней ряда с постоянным ускорением. Если < 0 и > 0, то квадратическая парабола имеет максимум, если > 0 и < 0 – минимум. Для отыскания экстремума первую производную параболы по t приравнивают 0 и решают уравнение относительно t .
3. Логарифмическая форма тренда:
, (3.7)
где – константа тренда.
Логарифмическим трендом может быть описана тенденция, проявляющаяся в замедлении роста уровней ряда динамики при отсутствии предельно возможного значения. При достаточно большом t логарифмическая кривая становится мало отличимой от прямой линии.
4. Мультипликативная (степенная) форма тренда:
(3.8)
5. Полином 3-ей степени:
Естественно, кривых, описывающих основные тенденции, гораздо больше. Однако формат учебного пособия не позволяет описать все их многообразие. Показанные далее приемы построения моделей позволят пользователю самостоятельно использовать другие функции, в частности обратные.
Для решения поставленной задачи по аналитическому сглаживанию динамических рядов в системе STATISTICA нам потребуется создать дополнительную переменную на листе с исходными данными переменной «ВГ2001-2010», который следует сделать активным.
Нам предстоит построить уравнение тренда, которое по существу является уравнением регрессии, в котором в качестве фактора выступает «время». Создаем переменную «Т», содержащую интервалы времени, 10 годам (с 2001 по 2010). Переменная «Т» будет состоять из натуральных чисел от 1 до 10, соответствующих указанным годам.
В итоге получается следующий рабочий лист (рис. 3.6)
Рис. 3.6. Рабочий лист с созданной переменной времени
Далее рассмотрим процедуру, позволяющую строить регрессионные модели как линейного, так и нелинейного типа. Для этого выбираем: Statistics/Advanced Linear/Nonlinear Models/Nonlinear Estimation (рис. 3.7). В появившемся окне (рис. 3.8) выбираем функцию User-specified Regression, Least Squares (построение моделей регрессии пользователем вручную, параметры уравнения находятся по методу наименьших квадратов (МНК)).
В следующем диалоговом окне (рис. 3.9) нажимаем на кнопку Function to be estimated , чтобы попасть на экран для задания модели вручную (рис. 3.10).
Рис. 3.7. Запуск процедуры Statistics/Advanced Linear/
Nonlinear Models/Nonlinear Estimation
Рис. 3.8. Окно процедуры Nonlinear Estimation
Рис. 3.9ю Окно процедуры User-Specified Regression, Least Squares
Рис. 3.10. Окно для реализации процедуры
задания уравнения тренда вручную
В верхней части экрана находится поле для ввода функции, в нижней части располагаются примеры ввода функций для различных ситуаций.
Прежде чем сформировать интересующие нас модели, необходимо пояснить некоторые условные обозначения. Переменные уравнений задаются в формате «v №», где «v » обозначает переменную (от англ. «variable »), а «№» – номер столбца, в котором она расположена в таблице на рабочем листе с исходными данными. Если переменных очень много, то справа находится кнопка Review vars , позволяющая выбирать их из списка по названиям и просматривать их параметры с помощью кнопки Zoom (рис. 3.11).
Рис. 3.11. Окно выбора переменной с помощью кнопки Review vars
Параметры уравнений обозначаются любыми латинскими буквами, не обозначающими какое-либо математическое действие. Для упрощения работы предлагается обозначать параметры уравнения так, как в описании уравнений тренда – латинской буквой «а », последовательно присваивая им порядковые номера. Знаки математических действий (вычитания, сложения, умножения и пр.) задаются в обычном для Windows -приложений формате. Пробелы между элементами уравнения не требуются.
Итак, рассмотрим первую модель тренда – линейную, .
Следовательно, после набора она будет выглядеть следующим образом:
,
где v 1 – это столбец на листе с исходными данными, в котором находятся значения исходного динамического ряда; а 0 и а 1 – параметры уравнения; v 2 – столбец на листе с исходными данными, в котором находятся значения интервалов времени (переменная Т) (рис. 3.12).
После этого дважды нажимаем кнопку ОК .
Рис. 3.12. Окно процедуры задания уравнения линейного тренда
Рис. 3.13. Закладка Quick процедуры оценки уравнения тренда.
В появившемся окне (рис. 3.13) можно выбрать метод оценки параметров уравнения регрессии (Estimation method ), если это необходимо. В нашем случае нужно перейти к закладке Advanced и нажать на кнопку Start values (рис. 3.14). В этом диалоге задаются стартовые значения параметров уравнения для их нахождения по МНК, т.е. их минимальные значения. Изначально они заданы как 0,1 для всех параметров. В нашем случае можно оставить эти значения в том же виде, но если значения в наших исходных данных меньше единицы, то необходимо задать их в виде 0,001 для всех параметров уравнения тренда (рис. 3.15). Далее нажимаем кнопку ОК .
Рис. 3.14. Закладка Advanced процедуры оценки уравнения тренда
Рис. 3.15. Окно задания стартовыхзначений параметров уравнения тренда
Рис. 3.16. Закладка Quick окна результатов регрессионного анализа
На закладке Quick (рис.3.16) очень важным является значение строчки Proportion of variance accounted for , которое соответствует коэффициенту детерминации; это значение лучше записать отдельно, так как в дальнейшем оно выводиться не будет, и пользователю придется рассчитывать коэффициент вручную, при этом достаточно трех знаков после запятой. Далее нажимаем кнопку Summary: Parameter estimates для получения данных о параметрах линейного уравнения тренда (рис. 3.17).
Рис. 3.17. Результаты расчета параметров линейной модели тренда
Столбец Estimate – числовые значения параметров уравнения; Standard еrror – стандартная ошибка параметра; t-value – расчетное значение t -критерия; df – число степеней свободы (n -2); p-level – расчетный уровень значимости; Lo. Conf. Limit и Up. Conf. Limit – соответственно нижняя и верхняя граница доверительных интервалов для параметров уравнения с установленной вероятностью (указана как Level of Confidence в верхнем поле таблицы).
Соответственно уравнение линейно модели тренда имеет вид .
После этого возвращаемся к анализу и нажимаем на кнопку Analysis of Variance (дисперсионный анализ) на той же закладке Quick (см. рис. 3.16).
Рис. 3.18. Результаты дисперсионного анализа линейной модели тренда
В верхней заголовочной строке таблицы выдаются пять оценок:
Sum of Squares – сумма квадратов отклонений; df – число степеней свободы; Mean Squares – средний квадрат; F-value – критерий Фишера; p-value – расчетный уровень значимости F -критерия.
В левом столбце указывается источник вариации:
Regression – вариация, объясненная уравнением тренда; Residual – вариация остатков – отклонений фактических значений от выровненных (полученных по уравнению тренда); Total – общая вариация переменной.
На пересечении столбцов и строк получаем однозначно определенные показатели, расчетные формулы для которых представлены в табл. 3.2,
Таблица 3.2
Расчет показателей вариации трендовых моделей
| Source | df | Sum of Squares | Mean squares | F-value |
| Regression | m |  |  |  |
| Residual | n-m |  |  | |
| Total | n |  | ||
| Corrected Total | n-1 |  |  | |
| Regresion vs. Corrected Total | m | SSR | MSR |  |
где – выровненные значения уровней динамического ряда; – фактические значения уровней динамического ряда; – среднее значение уровней динамического ряда.
SSR (Regression Sum of Squares) – сумма квадратов прогнозных значений; SSE (Residual Sum of Squares) – сумма квадратов отклонений теоретических и фактических значений (для расчета остаточной, необъясненной дисперсии); SST (TotalSum of Squares) – сумма первой и второй строчки (сумма квадратов фактических значений); SSCT (Corrected TotalSum of Squares) – сумма квадратов отклонений фактических значений от средней величины (для расчета общей дисперсии); Regression vs. Corrected Total Sum of Squares – повторение первой строчки; MSR (Regression Mean Squares) – объясненная дисперсия; MSE (Residual Mean Squares) – остаточная, необъясненная дисперсия; MSCT (Mean Squares Corrected Total) – скорректированная общая дисперсия; Regression vs. Corrected Total Mean Squares – повторение первой строчки; Regression F-value – расчетное значение F -критерия; Regression vs. Corrected Total F-value – скорректированное расчетное значение F -критерия; n – число уровней ряда; m – число параметров уравнения тренда.
Далее опять же на закладке Quick (см. рис. 3.16) нажимаем кнопку Predicted values, Residuals, etc . После ее нажатия система строит таблицу, состоящую из трех столбцов (рис. 3.19).
Observed – наблюдаемые значения (то есть уровни исходного динамического ряда);
Лекция 4. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ТЕНДЕНЦИЙ И УРАВНЕНИЙ ТРЕНДАВ главе 2 было рассмотрено понятие о тенденции временного ряда, т.е. тенденции динамики развития изучаемого показате-ля. Задача данной главы состоит в том, чтобы рассмотреть ос-новные типы таких тенденций, их свойства, отражаемые с большей или меньшей степенью полноты уравнением линии тренда. Укажем при этом, что в отличие от простых систем ме-ханики тенденции изменения показателей сложных социальных, экономических, биологических и технических систем только с некоторым приближением отражаются тем или иным уравне-нием, линией тренда.
В данной главе рассматриваются далеко не все известные в математике линии и их уравнения, а лишь набор их сравнитель-но простых форм, который мы считаем достаточным для ото-бражения и анализа большинства встречающихся на практике тенденций временных рядов. При этом желательно всегда вы-бирать из нескольких типов линий, достаточно близко выра-жающих тенденцию, более простую линию. Этот «принцип простоты» обоснован тем, что чем сложнее уравнение линии тренда, чем большее число параметров оно содержит, тем при равной степени приближения труднее дать надежную оценку этих параметров по ограниченному числу уровней ряда и тем больше ошибка оценки этих параметров, ошибки прогнозиру-емых уровней.
4.1. Прямолинейный тренд и его свойства
Самым простым типом линии тренда является прямая ли-ния, описываемая линейным (т.е. первой степени) уравнением тренда:
Где 
-
выровненные, т.е. лишенные колебаний, уровни тренда для лет с номером i;
а - свободный член уравнения, численно равный среднему выровненному уровню для момента или периода времени, принятого за начало отсчета, т.е. для
t = 0;
b - средняя величина изменения уровней ряда за единицу из-менения времени;
ti - номера моментов или периодов времени, к которым от-носятся уровни временного ряда (год, квартал, месяц, дата).
Среднее изменение уровней ряда за единицу времени - глав-ный параметр и константа прямолинейного тренда. Следова-тельно, этот тип тренда подходит для отображения тенденции примерно равномерных изменений уровней: равных в среднем абсолютных приростов или абсолютных сокращений уровней за равные промежутки времени. Практика показывает, что та-кой характер динамики встречается достаточно часто. Причи-на близких к равномерному абсолютных изменений уровней ряда состоит в следующем: многие явления, как, например, урожай-ность сельскохозяйственных культур, численность населения региона, города, сумма дохода населения, среднее потребление какого-либо продовольственного товара и др., зависят от боль-шого числа различных факторов. Одни из них влияют в сторо-ну ускоренного роста изучаемого явления, другие - в сторону замедленного роста, третьи - в направлении сокращения уров-ней и т.д. Влияние разнонаправленных и разноускоренных (за-медленных) сил факторов взаимно усредняется, частично взаимно погашается, а равнодействующая их влияний приобре-тает характер, близкий к равномерной тенденции. Итак, равно-мерная тенденция динамики (или застоя) - это результат сложения влияния большого количества факторов на изменение изучаемого показателя.
Графическое изображение прямолинейного тренда - прямая линия в системе прямоугольных координат с линейным (ариф-метическим) масштабом на обеих осях. Пример линейного тренда дан на рис. 4.1.
Абсолютные изменения уровней в разные годы не были точно одинаковыми, но общая тенденция сокращения численности занятых в народном хозяйстве очень хорошо отражает-ся прямолинейным трендом. Его параметры вычислены в гл. 5 (табл. 5.3).
Основные свойства тренда в форме прямой линии таковы:
Равные изменения за равные промежутки времени;
Если средний абсолютный прирост - положительная вели-чина, то относительные приросты или темпы прироста посте-пенно уменьшаются;
Если среднее абсолютное изменение - отрицательная вели-чина, то относительные изменения или темпы сокращения по-степенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;
Если тенденция к сокращению уровней, а изучаемая вели-чина является по определению положительной, то среднее изме-нение b не может быть больше среднего уровня а;
При линейном тренде ускорение, т.е. разность абсолютных изменений за последовательные периоды, равно нулю.
Свойства линейного тренда иллюстрирует табл. 4.1. Урав-нение тренда: = 100 +20 *ti.
Показатели динамики при наличии тенденции сокращения уровней приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.1
Показатели динамики при линейном тренде к увеличению уровней = 100 +20 *ti.
| Номер периода ti | Уровень | | Темпы (цеп-ные), % | Ускоре-ние |
| 1 | 120 | +20 | 120,0 | - |
| 2 | 140 | +20 | 116,7 | 0 |
| 3 | 160 | +20 | 114,3 | 0 |
| 4 | 180 | +20 | 112,5 | 0 |
| 5 | 200 | +20 | 111,1 | 0 |
| 6 | 220 | +20 | 110,0 | 0 |
Таблица 4.2
Показатели динамики при линейном тренде сокращения уровней: = 200 -20 *ti.
| Номер периода ti | Уровень | Абсолютное изме-нение к предыду-щему периоду | Темп к предыдущему периоду, % | Ускоре-ние |
| 1 | 180 | -20 | 90,0 | - |
| 2 | 160 | -20 | 88,9 | 0 |
| 3 | 140 | -20 | 87,5 | 0 |
| 4 | 120 | -20 | 85,7 | 0 |
| 5 | 100 | -20 | 83,3 | 0 |
| 6 | 80 | -20 | 80,0 | 0 |
^ 4.2. Параболический тренд и его свойства
Под названием параболического будем иметь в виду тренд, выраженный параболой II порядка с уравнением
=a+b*t+c*t 2 .
Параболы III порядка и более высоких порядков редко приме-нимы для выражения тенденции динамики и слишком сложны для получения надежных оценок параметров при ограничен-ной длине временного ряда. Прямую линию, с точки зрения ма-тематики, можно также считать одним из видов парабол - параболой I порядка, которая уже рассмотрена ранее.
Значения (смысл, сущность) параметров параболы II поряд-ка таковы: свободный член а - это средний (выровненный) уро-вень тренда на момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. t = 0; b - это средний за весь период среднегодовой прирост, который уже не является константой, а изменяется рав-номерно со средним ускорением, равным 2 с, которое и служит константой, главным параметром параболы II порядка.
Следовательно, тренд в форме параболы II порядка при-меняется для отображения таких тенденций динамики, кото-рым свойственно примерно постоянное ускорение абсолютных изменений уровней. Процессы такого рода встречаются на практике гораздо реже, чем процессы с равномерным измене-нием, но, с другой стороны, любое отклонение процесса от строго равномерного прироста (или сокращения) уровней можно интерпретировать как наличие ускорения. Более того, существует строгое математическое правило: чем выше поря-док параболы, тем ближе линия тренда к уровням исходного временного ряда. Если это правило довести до крайнего пре-дела, то любой ряд из п уровней может быть точно отображен параболой (п -1)-го порядка! (Через любые две точки прохо-дит одна прямая, через три точки - одна парабола II порядка и т.д.) Такое «приближение» линии тренда к эмпирическому ряду, содержащему как тенденцию, так и колебания, нельзя считать достижением научного анализа. Напротив, применяя параболу более высокого порядка там, где сущность процес-са этого не требует, а только ради уменьшения остаточной суммы отклонений (или их квадратов) отдельных уровней от тренда, исследователь уходит от цели, смешивая тренд с коле-баниями.
ПараболаII порядка, как уравнение тренда, применяется к различным процессам, которые на некотором, как правило не-продолжительном, этапе развития имеют примерно постоян-ное ускорение абсолютного прироста уровней. Такими бывают рост населения отдельных городов или регионов, ускоренное увеличение объема продукции в фазе циклического подъема, как, например, динамика экспорта Японии в 1988-1995 гг. на рис. 4.2.
Рис. 4.2. Динамика экспорта Японии
Расчет уравнения этой параболы приведен в гл. 5. Основные свойства тренда в форме параболы II порядка та-ковы:
1) неравные, но равномерно возрастающие или равномерно убывающие абсолютные изменения за равные промежутки вре-мени;
2) парабола, рассматриваемая относительно ее математи-ческой формы, имеет две ветви: восходящую с увеличением уровней признака и нисходящую с их уменьшением. Но отно-сительно статистики по содержанию изучаемого процесса из-менений трендом, выражающим определенную тенденцию развития, чаще всего можно считать только одну из ветвей:
Либо восходящую, либо нисходящую. В особых, более конк-ретных, ситуациях мы не отрицаем возможности объединения обеих ветвей в единый тренд;
3) так как свободный член уравнения а как значение показа-теля в начальный момент (период) отсчета времени, как правило, величина положительная, то характер тренда определяется знаками параметров b и с:
А) при b >0 и с>0 имеем восходящую ветвь, т.е. тенденцию к ускоренному росту уровней;
Б) при b <0 и с<0 имеем нисходящую ветвь - тенденцию к ускоренному сокращению уровней;
В) при b > 0 и с<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляю-щимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, восходящую и нисходящую, если их по существу можно считать единым про-цессом;
Г) при b <0 и с>0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляю-щимся сокращением уровней, либо обе ветви - нисходящую и восходящую, если их можно считать единой тенденцией;
4) при параболической форме тренда, в зависимости от со-отношений между его параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время возрастать, но при достаточно длительном периоде рано или поздно темпы роста обязательно начинают уменьшаться, а темпы сокращения уровней при b <0 и с<0 обязательно начинают возрастать (по абсолютной величине относительного изменения).
Ввиду ограниченного объема учебника рассмотрим не все четыре случая параболических трендов, а лишь два первых (табл. 4.3 и 4.4).
Таблица 4.3
Показатели динамики при параболическом тренде,
| Номер периода ti | Уровень  | Абсолютное изменение | | Ускоре-ние |
| 1 | 122 | +22 | 122,0 | - |
| 2 | 148 | +26 | 121,3 | +4 |
| 3 | 178 | +30 | 120,3 | +4 |
| 4 | 212 | +34 | 119,1 | +4 |
| 5 | 250 | +38 | 117,9 | +4 |
| 6 | 292 | +42 | 116,8 | +4 |
^ Таблица 4.4
Показатели динамики при параболическомтренде,
| Номер перио-да | Уро-вень | Абсо-лютные измене-ния | Цепные темпы, % к предыдущему периоду | Уско-рение | Цепное относи-тельное измене-ние, % к преды-дущему периоду |
| 1 | 178 | -22 | 89,0 | - | -11,0 |
| 2 | 152 | -26 | 85,4 | -4 | -14,6 |
| 3 | 122 | -30 | 80,3 | -4 | -19,7 |
| 4 | 88 | -34 | 72,1 | -4 | -27,9 |
| 5 | 50 | -38 | 56,8 | -4 | -43,2 |
| 6 | 8 | -42 | 16,0 | -4 | -84,0 |
В тех случаях, когда по существу изучаемого процесса до-пустимо считать единым трендом обе ветви параболы, пред-ставляет большой интерес решение задачи о нахождении того периода или момента времени, когда уровень тренда достигает максимума (когда b >0, с<0) или минимума (если b <0, с>0). Эк-стремальная точка параболы
= а
+ bt
+ ct
2
достигается при ну-левом значении первой производной:
^ 4.3. Экспоненциальный тренд и его свойства
Экспоненциальным трендом
называют тренд, выраженный уравнением: .
Свобод-ный член экспоненты а
равен выровненному уровню, т.е. уров-ню тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени, т.е. при t
=
0.
Основной параметр экспоненциального тренда k
является постоянным темпом изменения уровней (цен-ным). Если k
>
1,
имеем тренд с возрастающими уровнями, при-чем это возрастание не просто ускоренное, а с возрастающим ускорением и возрастающими производными всех более высо-ких порядков. Если k
<
1, то имеем тренд, выражающий тенден-цию постоянного, но замедляющегося сокращения уровней, причем замедление непрерывно усиливается. Экстремума экс-понента не имеет и при 
стремится либо к 
при k
>
1, либо к 0 при k
<
1.
Экспоненциальный тренд характерен для процессов, разви-вающихся в среде, не создающей никаких ограничений для рос-та уровня. Из этого следует, что на практике он может развиваться только на ограниченном промежутке времени, так как любая среда рано или поздно создает ограничения, любые ресурсы со временем исчерпаемы. Однако практика показала что, например, численность населения Земли на протяжении 1950-1985 гг. возрастала примерно по экспоненте со среднего-довым темпом роста k = 1,018 и за это время возросла вдвое - с 2,5 до 5 млрд. чел. (рис. 4.3). В настоящее время темп роста насе-ления постепенно уменьшается.
Экспоненциальный рост объема реализации и производства происходит при возникновении новых видов продукции и их освоении промышленностью: при появлении цветных телеви-зоров, видеомагнитофонов, пейджеров и т.п., но когда произ-водство начинает наполнять рынок, приближаться к спросу, экспоненциальный рост прекращается.
Рис. 4.3. Рост народонаселения Земли
Расчет экспоненциального тренда дан в гл. 5. Основные свойства экспоненциального тренда:
1. Абсолютные изменения уровней тренда пропорциональ-ны самим уровням.
2. Экспонента экстремумов не имеет: при k > 1 тренд стремит-ся к +, при k < 1 тренд стремится к нулю.
3. Уровни тренда представляют собой геометрическую про-грессию: уровень периода с номером t = т есть a * k m .
4. При k > 1 тренд отражает ускоряющийся неравномерно рост уровней, при k < 1 тренд отражает замедляющееся неравномерно уменьшение уровней. Поведение основных показателей дина-мики в этих случаях рассмотрено в табл. 4.5 и 4.6.
В табл. 4.5 и 4.6 в последней графе приведены редко приме-няемые показатели динамики III порядка: ускорение (или при-рост) ускорения и замедление ускорения. Эти абсолютные показатели даны для наглядного пояснения главного отличия экспоненциального тренда от парабол любого порядка: экспо-нента не имеет постоянных производных любого порядка по времени. Постоянен только цепной темп изменения.
| Номер периода  | Уровень | Абсолютные изменения (цепные) | Цепные темпы, % к предыдущему периоду | Ускорение | Прирост ускорения к предыдущему периоду |
| 1 | 120,00 | +20,00 | 120 | - | - |
| 2 | 144,00 | +24,00 | 120 | +4,00 | - |
| 3 | 172,80 | +28,80 | 120 | +4,80 | +0,80 |
| 4 | 207,36 | +34,56 | 120 | +4,76 | +0,96 |
| 5 | 248,83 | +41,47 | 120 | +6,81 | +1,15 |
| 6 | 298,60 | +49,77 | 120 | +8,30 | +1,39 |
| Номер периода | Уровень | Абсолютные изменения (цепные) | Цепные темпы, % к предыдущему периоду | Ускорение | Замедление ускорения |
| 1 | 160,00 | 40,00 | 80 | - | - |
| 2 | 128,0 | -32,00 | 80 | +8,00 | - |
| 3 | 102,40 | -25,60 | 80 | +6,40 | -1,60 |
| 4 | 81,92 | -20,48 | 80 | +5,12 | -1,28 |
| 5 | 65,54 | -16,38 | 80 | +4,10 | -1,02 |
| 6 | 52,43 | -13,11 | 80 | +3,27 | -0,83 |
Читатель может заинтересоваться и таким вопросом: как на-звать тенденцию динамики, при которой и темп изменения был бы непостоянен, а имел постоянное абсолютное или относи-тельное изменение, например, уравнение типа 
или 
и т.д. Подобные «гиперэкспоненты» не применяют-ся статистикой, ибо любой, сколь угодно быстрый, сколь угодно ускоряющийся рост может быть отображен обычной экспонентой - стоит лишь уменьшить период, за который происходит возрастание (или сокращение) уровней в k
раз. По своему суще-ству экспоненциальное развитие процесса и есть предельно воз-можное, предельно благоприятное по условиям развития, так как оно осуществляется в среде, не ограничивающей развитие данного процесса. Но следует помнить, что это происходит толь-ко до определенного времени, так как каждая среда, каждый ре-сурс в природе ограничен. Единственный спорный в науке процесс, по которому до сих пор нет доказательства ограничен-ности его во времени, - это экспоненциальное замедляющееся расширение Вселенной. Ограничено ли оно и сменится ли со временем сжатием или будет продолжаться бесконечно, зави-сит от значения средней плотности вещества и излучения во Вселенной, которую пока науке установить не удалось, ибо не все формы существования вещества и полей науке извест-ны. Зато интересно знать, что самый фундаментальный про-цесс, охватывающий всю известную Вселенную, уже, по крайней мере, 12-15 млрд. лет развивается по экспоненте.
^ 4.4. Гиперболический тренд и его свойства
Из различных форм гипербол рассмотрим только наиболее простую: 
Если основной параметр гиперболы b
>0,
то этот тренд вы-ражает тенденцию замедляющегося снижения уровней и при 
..
Таким образом, свободный член гиперболы - это предел, к которому стремится уровень тренда.
Такая тенденция наблюдается, например (рис. 4.4), при изу-чении процесса снижения затрат любого ресурса (труда, мате-риалов, энергии) на единицу данного вида продукции или ее себестоимости в целом. Затраты ресурса не могут стремиться к нулю, значит, экспонента не соответствует сущности процесса; нужно применить гиперболическую формулу тренда.
Если параметр b <0, то с возрастанием t , т.е. с течением вре-мени, уровни тренда возрастают и стремятся к величине а при .
Такой характер динамики присущ, например, показателям КПД двигателей или иных преобразователей энергии (трансфор-матор тока, фотоэлемент и т.п.). По мере развития научно-тех-нического прогресса эти КПД постепенно повышаются, но никогда не могут превысить определенного предела для каждо-го типа двигателя и не могут превысить 100% в принципе для любого преобразователя энергии. При расчете гиперболического тренда нельзя нумеровать года от середины ряда, так как значения 1/ti должны быть всегда положительными.
Основные свойства гиперболического тренда:
1. Абсолютный прирост или сокращение уровней, ускоре-ние абсолютных изменений, темп изменения - все эти показате-ли не являются постоянными. При b >0 уровни замедленно уменьшаются, отрицательные абсолютные изменения, а также положительные ускорения тоже уменьшаются, цепные темпы из-менения растут и стремятся к 100%.
Рис. 4.4. Динамика расхода условного топлива на производство электроэнергии (г на 1 кВт-ч) на электростанциях региона
2. При b <0 уровни замедленно возрастают, положительные абсолютные изменения, а также отрицательные ускорения и цеп-ные темпы роста замедленно уменьшаются, стремясь к 100%.
Как видим, гиперболический тренд описывает в любом слу-чае тенденцию такого процесса, показатели которого со време-нем затухают, т.е. происходит переход от движения к застою. Иллюстрацией этих свойств может служить табл. 4.7.
Таблица 4.7
Показатели динамики при гиперболическом тренде: 
| Номер периода | Уровень | Абсолютные изменения (цепные) | Цепные темпы, % к предыдущему периоду | Ускорение |
| 1 | 200,0 | - | - | - |
| 2 | 150,0 | -50,0 | 75,0 | - |
| 3 | 133,0 | -16,7 | 88,9 | +33,3 |
| 4 | 125,0 | -8,3 | 93,8 | +8,4 |
| 5 | 120,0 | -5,0 | 96,0 | +3,3 |
| 6 | 116,7 | -3,3 | 97,2 | +1,7 |
^ 4.5. Логарифмический тренд и его свойства
Если изучаемый процесс приводит к замедлению роста ка-кого-то показателя, но при этом рост не прекращается, не стремится к какому-либо ограниченному пределу, то гипербо-лическая форма тренда уже не подходит. Тем более не подходит парабола с отрицательным ускорением, по которой замедляю-щийся рост перейдет со временем в снижение уровней. В указан-ном случае тенденция изменения лучше всего отображается логарифмической формой тренда: = a + b ln .
Логарифмы возрастают значительно медленнее, чем сами числа (номера периодов ), но рост логарифмов неограничен. Подбирая начало отсчета периодов (моментов) времени, мож-но найти такую скорость снижения абсолютных изменений, ко-торая наилучшим образом отвечает фактическому временному ряду.
Примером тенденций, соответствующих логарифмическому тренду, может служить динамика рекордных достижений в спорте: известно, что увеличение на 1 см рекорда прыжка в вы-соту или снижение на 0,1 с времени бега на 200 или 400 м требует все больших и больших затрат времени, каждый рекорд дается все большим и большим трудом. В то же время нет и «вечных» рекордов, все спортивные достижения улучшаются, но медлен-нее и медленнее, т.е. по логарифмическому тренду. Нередко та-кой же характер динамики присущ на отдельных этапах развития динамике урожайности или валового сбора какой-то культуры в данном регионе, пока новое агротехническое достижение не при-даст снова тенденции ускорения, что иллюстрирует рис. 4.5.
Конечно, характер тенденции маскируется колебаниями, но видно, что рост валового сбора замедляется. Это показывают и средние уровни сбора чая:
За 1978-1983 гг. средний сбор равен 333 тыс. т;
За 1984-1989 гг. средний сбор равен 483 тыс. т, рост на 150 тыс.т;
За 1990-1994 гг. средний сбор равен 566 тыс. т, рост на 83 тыс.т.
На рис. 4.5 для убедительности нанесен и логарифмический тренд, расчет
Рис. 4.5. Динамика валового сбора чая в Китае
Которого дан в гл. 5. Заметны также 5-6-летние циклические колебания валового сбора чая.
Основные свойства логарифмического тренда:
1. Если b >0, то уровни возрастают, но с замедлением, а если b <0, то уровни тренда уменьшаются, тоже с замедлением.
2. Абсолютные изменения уровней по модулю всегда умень-шаются со временем.
3. Ускорения абсолютных изменений имеют знак, противо-положный самим абсолютным изменениям, а по модулю посте-пенно уменьшаются.
4. Темпы изменения (цепные) постепенно приближаются к 100% при .
Можно сделать общий вывод о том, что логарифмический тренд отражает, так же как и гиперболический тренд, посте-пенно затухающий процесс изменений. Различие состоит в том, что затухание по гиперболе происходит быстро при приближе-нии к конечному пределу, а при логарифмическом тренде зату-хающий процесс продолжается без ограничения гораздо медленнее.
^ 4.6. Логистический тренд и его свойства
Логистическая форма тренда подходит для описания такого процесса, при котором изучаемый показатель проходит полный цикл развития, начиная, как правило, от нулевого уровня, сна-чала медленно, но с ускорением возрастая, затем ускорение ста-новится нулевым в середине цикла, т.е. рост происходит по линейному тренду, затем, в завершающей части цикла, рост за-медляется по гиперболе по мере приближения к предельному значению показателя.
Примером такого цикла динамики может служить измене-ние доли грамотного населения в стране, например в России, с 1800 г. до наших дней, или изменение доли семей, имеющих те-левизоры, примерно с 1945 до 2000 г. в России, доли жилищ в городах, имеющих горячее водоснабжение или центральное ото-пление (процесс, еще не законченный). В некоторых зарубеж-ных программах для компьютеров логистическая кривая называется S-образной кривой.
Можно, конечно, логистическую тенденцию считать объе-динением трех разных по типу тенденций: параболической с ускоряющимся ростом на первом этапе, линейной - на втором и гиперболической с замедляющимся ростом - на третьем этапе. Но есть доводы и в пользу рассмотрения всего цикла развития как особого единого типа тенденции со сложными, переменными свойствами, но постоянным направлением из-менений в сторону увеличения уровней в рассмотренных нами примерах или уменьшения уровней, если взять противополож-ный процесс - сокращение доли неграмотных среди населе-ния, доли жилищ, не оборудованных газоснабжением или центральным отоплением, и т.д.
Рассмотрение таких временных рядов, как проявление еди-ной логистической тенденции, позволяет уже на первом этапе рассчитать всю траекторию развития, определить сроки пере-хода от ускоренного роста к замедленному, что чрезвычайно важно при планировании производства или реализации нового вида товара, спрос на который будет проходить все этапы логи-стической тенденции вплоть до насыщения рынка. Так, напри-мер, обеспеченность населения в России автомобилями в конце 1980-х годов находилась на начальном этапе логистической кри-вой, и это означало, что предстоит еще ряд лет или даже десяти-летий ускоренного роста спроса. В то же время обеспеченность фотоаппаратами уже достигла этапа замедления роста, и это означало, что расширять производство или импорт прежних типов фотоаппаратов не следует. Расширение их рынка возмож-но было только для принципиально новых типов фотоаппара-тов, насыщенность которыми еще находится в самом начале первого этапа.
В вышеописанном диапазоне изменения уровней, т.е. от нуля до единицы, уравнение логистического тренда имеет вид:
должно быть примерно равно -10. Чем больше 
, тем быст-рее будут снижаться уровни, например, при = -10; = 1, уже при = 20 уровни снизятся почти до нуля.
Если же диапазон изменения уровней ограничен не нулем и единицей, а любыми значениями, определяемыми исходя из су-щества задачи, обозначаемыми 
то формула логис-тического тренда принимает вид:
Как видно из табл. 4.8, абсолютные изменения нарастают до середины периода, затем уменьшаются. Все они положитель-ны. Ускорения сначала возрастают, а после середины периода снижаются, становятся отрицательными, но уменьшаются по мо-дулю. Сумма положительных и отрицательных ускорений при-ближенно равна нулю (если ряд продлить от - до +, то сумма их точно равна нулю). Темпы роста возрастают до конца пер-вой половины ряда, затем снижаются. Если ряд достаточно длин-ный, то темпы начинаются со 100 % и завершаются на 100%.
Таблица 4.8
Показатели динамики при логистическом тренде:
| Номер периода | Уровень | Абсолютные изме-нения к предыдуще-му периоду | Ускоре-ние | Темп роста к предыдущему периоду, % |
| 0 | 51,0 | - | - | - |
| 1 | 54,4 | +3,4 | - | 106,7 |
| 2 | 67,9 | +13,5 | +10,1 | 124,8 |
| 3 | 106,6 | +38,7 | +25,2 | 157,0 |
| 4 | 159,7 | +53,1 | +14,4 | 149,8 |
| 5 | 188,6 | +28,8 | -24,2 | 118,1 |
| 6 | 197,3 | +8,7 | -20,2 | 104,6 |
| 7 | 199,4 | +2,1 | -6,6 | 101,1 |
При логистическом тренде со снижающимися уровнями по-казатели динамики изменяются в следующем порядке: отрица-тельные абсолютные изменения по модулю возрастают до середины ряда и снижаются к концу, стремясь к нулю при . Ускорения в первой половине периода отрицательные и по мо-дулю возрастающие; во второй половине периода ускорения положительные и уменьшающиеся в пределе до нуля. Темпы изменений все меньше 100%, в конце первой половины периода наименьшие, во второй половине возрастающие с замедлением до 100% в пределе. Графическое изображение логистического тренда приведено на рис. 5.2.
ПРИМЕР . Статистическое изучение динамики численности населения.
С помощью цепных, базисных, средних показателей динамики оцените изменение численности, запишите выводы.
С помощью метода аналитического выравнивания (по прямой и параболе, определив коэффициенты с помощью МНК) выявите основную тенденцию в развитии явления (численность населения Республики Коми). Оцените качество полученных моделей с помощью ошибок и коэффициентов аппроксимации.
Определите коэффициенты линейного и параболического трендов с помощью средств «Мастера диаграмм». Дайте точечный и интервальный прогнозы численности на 2010 г. Запишите выводы.
Метод аналитического выравнивания а) Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a 1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов . Используем способ отсчета времени от условного начала. Система уравнений МНК для линейного тренда имеет вид: a 0 n + a 1 ∑t = ∑y a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
Для наших данных система уравнений примет вид: 10a 0 + 0a 1 = 10400 0a 0 + 330a 1 = -4038 Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение Получаем a 0 = -12.236, a 1 = 1040 Уравнение тренда: y = -12.236 t + 1040
Оценим
качество уравнения тренда с помощью
ошибки абсолютной аппроксимации.
Ошибка
аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует
о хорошем подборе уравнения тренда к
исходным данным.
б) выравнивание по параболе Уравнение тренда имеет вид y = at 2 + bt + c 1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов. Система уравнений МНК: a 0 n + a 1 ∑t + a 2 ∑t 2 = ∑y a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 + a 2 ∑t 3 = ∑yt a 0 ∑t 2 + a 1 ∑t 3 + a 2 ∑t 4 = ∑yt 2
Для наших данных система уравнений имеет вид 10a 0 + 0a 1 + 330a 2 = 10400 0a 0 + 330a 1 + 0a 2 = -4038 330a 0 + 0a 1 + 19338a 2 = 353824 Получаем a 0 = 1.258, a 1 = -12.236, a 2 = 998.5 Уравнение тренда: y = 1.258t 2 -12.236t+998.5
Ошибка
аппроксимации для параболического
уравнения тренда.
Поскольку
ошибка меньше 7%, то данное уравнение
можно использовать в качестве тренда.
Минимальная ошибка аппроксимации при выравнивании по параболе. К тому же коэффициент детерминации R 2 выше чем при линейной. Следовательно, для прогнозирования необходимо использовать уравнение по параболе.
Интервальный
прогноз.
Определим среднеквадратическую
ошибку прогнозируемого показателя.
m
= 1 - количество влияющих факторов в
уравнении тренда.
Uy = y n+L ±
K
где
L
- период упреждения; у n+L -
точечный прогноз по модели на (n + L)-й
момент времени; n - количество наблюдений
во временном ряду; Sy - стандартная ошибка
прогнозируемого показателя; T табл -
табличное значение критерия Стьюдента
для уровня значимости α и для числа
степеней свободы, равного n-2
.
По
таблице Стьюдента находим
Tтабл
T табл (n-m-1;α/2)
= (8;0.025) = 2.306
Точечный прогноз, t = 10:
y(10) = 1.26*10 2 -12.24*10
+ 998.5 = 1001.89 тыс. чел.
1001.89
- 71.13 = 930.76 ; 1001.89 + 71.13 = 1073.02
Интервальный
прогноз:
t = 9+1 = 10: (930.76;1073.02)
Прямая линия - трендовые значения рентабельности (линейный тренд, построенный по данным фактических значений рентабельности).
Пример 14.6. Построим линейный тренд процентных ставок по кредитам на основе статистических данных, опубликованных в Бюллетене банковской статистики № 4 (47) за 1997 г.
Вторым этапом является поиск значений параметров уравнения. Параметры трендовых моделей определяются с помощью системы нормальных уравнений . В случае применения линейного тренда используют следующую систему уравнений, которую решают способом наименьших квадратов
Пример 14.7. Предполагая наличие циклических колебаний , проведем гармонический анализ динамики отклонений от линейного тренда данных о ставках по кредитам (у, - у,).
Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям. Равнодействующая этих факторов при взаимопогашении особенностей отдельных фак-
При b = 1 имеем линейный тренд, b = 2 - параболический и т.п. Степенная форма - гибкая, пригодная для отображения изменений с разной мерой пропорциональности изменений во времени. Жестким условием является обязательное прохождение через начало координат при t = 0, у = 0. Можно усложнить форму тренда у = а + th или у = а + th, но эти уравнения нельзя логарифмировать, трудно вычислять параметры, и они крайне редко применяются.
Для линейного тренда нормальные уравнения МНК имеют вид
В формуле (9.33) суммирование от = -(л-1) 2до/ = (л- 1) 2 в целом формула (9.33) аналогична формуле для линейного тренда (9.29).
Согласно формуле (9.29) параметры линейного тренда равны а = 1894/11 = 172,2 ц/га 2>Л= 486/110 = 4,418 ц/га. Уравнение линейного тренда имеет вид у = 172,2 + 4,418/, где (= 0 в 1987 г. Это означает, что средний фактический и выравненный уровень, отнесенный к середине периода, т.е. к 1991 г., равен 172 ц с 1 га, а среднегодовой прирост составляет 4,418 ц/га в год.
Поскольку по данным табл. 9.4, уже было установлено, что тренд имеет линейную форму , проводим расчет среднегодового абсолютного прироста , т. е. параметра Ъ уравнения линейного тренда сколь-
Колеблемость умеренная, не сильная. Для сравнения приводим показатели (без расчета) по колебаниям урожайности картофеля, данные таблиц 9.1 и 9.5 - отклонение от линейного тренда s(t) = 14,38 ц с 1 га, v(t) = 8,35%.
Для получения достаточно надежных границ прогноза положения тренда, скажем, с вероятностью 0,9 того, что ошибка будет не более указанной, следует среднюю ошибку умножить на величину /-критерия Стьюдента при указанной вероятности (или значимости 1 - 0,9 = 0,1) и при числе степеней свободы , равном, для линейного тренда, N- 2, т. е. 15. Эта величина равна 1,753. Получаем предельную с данной вероятностью ошибку
Другим приемом измерения корреляции в рядах динамики может служить корреляция между теми из цепных показателей рядов, которые являются константами их трендов. При линейных трендах - это цепные абсолютные приросты . Вычислив их по исходным рядам динамики (axl, ayi), находим коэффициент корреляции между абсолютными изменениями по формуле (9.52) или, что более точно, по формуле (9.51), так как средние изменения не равны нулю в отличие от средних отклонений от трендов. Допустимость данного способа основана на том, что разность между соседними уровнями в основном состоит из колебаний, а доля тренда в них невелика, следовательно, искажение корреляции от тренда очень большое при кумулятивном эффекте на протяжении длительного периода , весьма мало - за каждый год в отдельности. Однако нужно помнить, что это справедливо лишь для рядов с с-показателем, существенно меньшим единицы. В нашем примере для ряда урожайности с-по-казатель равен 0,144, для себестоимости он равен 0,350. Коэффициент корреляции цепных абсолютных изменений составил 0,928, что очень близко к коэффициенту корреляции отклонений от трендов.
В одном из предыдущих примеров мы рассмотрели прогноз по объему производства за два месяца некой компании из Дублина. Были получены оценки на 1997 год, при этом использовался линейный тренд и метод сложения . Прогнозные значения даны в тоннах
Значения k для оценки доверительных интервалов прогноза относительно линейного тренда с вероятностью 0,8
Адаптивное моделирование линейного тренда с помощью экспоненциальных скользящих средних.
Алгоритм вычисления параметров линейного тренда
Вычислить в первом приближении параметры линейного тренда
Определить окончательные значения параметров линейного тренда
ЕМА ошибок могут ухудшить качество прогноза. В этом случае при расчете параметров линейного тренда нужно остановиться на шаге 2 этого алгоритма.
LN - линейный тренд, сезонность не учитывается
Если считать, что изменения цен, вопреки соображениям эффективности на продолжительных отрезках времени, определяются многочисленными и часто нелинейными обратными связями , то на основе теории хаоса можно построить улучшенные модели, описывающие влияние прошлого на настоящее (см. -). Драматические обвалы рынка при отсутствии существенных изменений информации, резкие изменения условий доступа и сроков при пересечении компанией какого-то невидимого порога в кредитной сфере - все это проявления нелинейности. Реальное поведение финансовых рынков , скорее, противоречит правилам обращения линейных трендов, чем подтверждает их.
Метод последовательных разностей заключается в следующем если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями
Значения Лу не имеют четко выраженной тенденции, они варьируют вокруг среднего уровня, что означает наличие в ряде динамики линейного тренда (линейной тенденции). Аналогичный вывод можно сделать и по ряду х абсолютные приросты не имеют систематической направленности, они примерно стабильны, а следовательно, ряд характеризуется линейной тенденцией.
Это привело к идее измерения корреляции не самих уровней х, иу а первых разностей Дх, = х, - , 6у, - у, - у,.., (при линейных трендах). В общем случае было признано необходимым коррелировать отклонения от трендов (за вычетом циклической компоненты) Еу -у, - %, Ех = х, - %, (у,% - тренды временных рядов).
На графике рис. 5.3 наглядно видно наличие возрастающей тенденции. Возможно существование линейного тренда.
Параметры линейного тренда можно интерпретировать так а - начальный уровень временного ряда в момент времени t = 0 b - средний за период абсолютный прирост уровней ряда. Применительно к данному временному ряду можно сказать, что темпы роста номинальной месячной заработной платы за 10 месяцев 1999 г. изменялись от уровня 82,66% со средним за месяц абсолютным приростом , равным 4,72 проц. пункта. Расчетные по линейному тренду значения уровней временного ряда определяются двумя способами. Во-первых, можно последовательно подставлять в найденное уравнение тренда значения / = 1, 2,..., л, т.е.
Во-вторых, в соответствии с интерпретацией параметров линейного тренда каждый последующий уровень ряда есть сумма предыдущего уровня и среднего цепного абсолютного прироста, т. е.
Таким образом, начальный уровень ряда в соответствии с уравнением экспоненциального тренда составляет 83,96 (сравните с начальным уровнем 82,66 в линейном тренде), а средний цепной коэффициент роста - 1,046. Следовательно, можно сказать, что
а) Методы выделения тренда. Анализ значимости тренда. Выделение остатков и их анализ.
Одним из важнейших понятий технического анализа является понятие тренда. Слово тренд - калька с английского trend (тенденция). Однако точного определения тренда в техническом анализе не дается. И это не случайно. Дело в том, что тренд или тенденция временного ряда - это несколько условное понятие. Под трендом понимают закономерную, неслучайную составляющую временного ряда (обычно монотонную, т.е. либо возрастающую, либо убывающую), которая может быть вычислена по вполне определенному однозначному правилу. Тренд реального временного ряда часто связан с действием природных (например, физических) законов или каких-либо других объективных закономерностей. Однако, вообще говоря, нельзя однозначно разделить случайный процесс или временной ряд на регулярную часть (тренд) и колебательную часть (остаток). Поэтому обычно предполагают, что тренд - это некоторая функция или кривая достаточно простого вида (линейная, квадратичная и т.п.), описывающая «среднее поведение» ряда или процесса. Если оказывается, что выделение такого тренда упрощает исследование, то предположение о выбранной форме тренда считается допустимым. B техническом анализе обычно предполагается, что тренд линеен (и его график - прямая линия) или кусочно линеен (и тогда его график - ломаная линия).
Предположим, что реализация временного ряда в моменты времени Т=t1, t2,...tN принимает значения X=x1,х2,...xN. Линейный тренд имеет уравнение x=at+b. Известны специальные методы нахождения коэффициентов а и b этого уравнения. В том техническом анализе, который описывается в большинстве книг, тренд находится некоторыми графическими или несложными приближенными приемами. Однако в современной практике широко используются компьютеры, которые за считанные секунды могут по заданному массиву данных выписать точное уравнения тренда заданного вида (в частности, линейного тренда).
Для временного ряда общее уравнение линейного тренда имеет вид:
Величина МТ - среднее значение моментов времени t1, t2,...tN. Выбирая подходящую единицу времени, мы всегда можем считать, что t1, t2... - это просто натуральные числа 1,2.... Например, так будет для ценового ряда, в котором цены на акции фиксируется ежедневно на момент начала торгов, если за единицу времени взять один день. В таком случае:
Величины от и о называются средними квадратичными отклонениями, они характеризуют разброс значений вокруг средних значений МТ и MX величин Т и X соответственно. Вычисление о вручную довольно утомительно, особенно для больших массивов данных. Однако все компьютерные программы, ориентированные на финансовые приложения, и даже такие универсальные программы, как Excel (не говоря уж о специальных статистических пакетах, таких как SPSS, Statistica, Statgraphics и др.) дают возможность мгновенно вычислить о для любого массива данных, который введен в память компьютера (и записан в некоторой определенной форме). Что касается величины от, то для случая ряда натуральных чисел она равна:
Величина г играет в формуле тренда ключевую роль. Она называется коэффициентом корреляции (другое название: нормированный коэффициент корреляции) и характеризует степень взаимосвязи переменных Х и Т. Коэффициент корреляции принимает значения в промежутке от - 1 до +1. Если он близок к нулю, то это значит, что нет возможности выделить значимый линейный тренд. Если он положителен, то есть тенденция роста изучаемого индекса, причем, чем ближе г к единице, тем эта тенденция становится все более определенной. При отрицательном г имеем тенденцию к убыванию.
Вычисление г весьма громоздко, но современный компьютер делает это практически мгновенно.
При r>0 говорят о положительном тренде (с течением времени значения временного ряда имеет тенденцию возрастать), при r
Знаете ли Вы, что: самые успешные в Рунете управляющие ПАММ-счетами осуществляют свою деятельность через компанию Альпари: рейтинг ПАММ-счетов ; рейтинг готовых портфелей ПАММ-счетов .
После вычисления линейного тренда нужно выяснить, насколько он значим. Это делается с помощью анализа коэффициента корреляции. Дело в том, что отличие коэффициента корреляции от нуля и тем самым наличие тренда (положительного или отрицательного) может оказаться случайным, связанным со спецификой рассматриваемого отрезка временного ряда. Иначе говоря, при анализе другого набора экспериментальных данных (для того же временного ряда) может оказаться, что полученная при этом оценка величины г намного ближе к нулю, чем исходная (и, возможно, даже имеет другой знак), и говорить о реальном, выраженном тренде тут уже становится трудно.
Для проверки значимости тренда в математической статистике разработаны специальные методики. Одна из них основана на проверке равенства г = 0 с помощью распределения Стьюдента (Стьюдент - это псевдоним английского статистика У.Госсета).
Предположим, что имеется набор экспериментальных данных - значения х1, х2,...xN временного ряда в равноотстоящие моменты времени t1, t2...tN. С помощью специальных программ (см. выше) по этим данным можно вычислить приближение г* к точному значению г коэффициента корреляции (это приближение называют оценкой). Назовем это значение г* экспериментальным. Общая идея метода статистической проверки гипотез такова. Выдвигается некоторая гипотеза, в нашем случае это гипотеза о равенстве нулю коэффициента корреляции. Далее, задается некоторый уровень вероятности а. Смысл этой величины заключается в том, что она является вероятностной мерой допустимой ошибки. А именно, мы допускаем, что сделанный нами вывод о справедливости или несправедливости гипотезы на основании заданного массива экспериментальных данных может оказаться ошибочным, ибо абсолютно точного вывода на основании лишь частичной информации ожидать, конечно, не стоит. Однако мы можем потребовать, чтобы вероятность этой ошибки не превосходила некоторой заранее выбранной величины а (уровня вероятности). Обычно берут ее значение равным 0.05 (т.е. 5%) или 0.10, иногда прут и 0.01. Событие, вероятность которого меньше, чем а, считается настолько редким, что мы берем на себя смелость им пренебрегать. Для временных рядов разной природы эту величину выбирают по-разному. Если речь идет о ряде цен на акции какой-то небольшой фирмы, то риск ошибиться не несет катастрофических последствий (для независимых от этой фирмы участников торгов) и потому а можно взять не очень маленьким. Если же речь идет о крупной сделке, то последствия ошибки могут быть очень тяжелыми и значение а берут поменьше.
Можно доказать, что при достаточно больших значениях N эта величина Uэкс (тоже являющаяся случайной) очень похожа на одну из стандартных случайных величин, используемых в математической статистике или, как говорят в математической статистике, близка к распределению Стьюдента с числом степеней свободы k (так называется параметр, задающий распределение Стьюдента), равным N-2, где N-число экспериментальных данных.
Для распределения Стьюдента имеются подробные таблицы, в которых для заданного уровня вероятности а и числа степеней свободы k указывается критическое значение Икр. Критическим или граничным оно называется потому, что ограничивает двустороннюю (учитывающую и положительные и отрицательные значения) область, вне которой значения случайной величины могут оказаться достаточно редко, с вероятностью не большей, чем а. Точнее, при условии г = 0 имеет место равенство:
В настоящее время значение Uкр можно находить не только из таблиц (где оно приводится только лишь для некоторых отдельных значений уровня вероятности - см. Табл. 2 ниже). Любая современная статистическая программа для компьютера дает возможность мгновенно вычислить Uкр для произвольного заданного уровня вероятности. Как нетрудно понять, с ростом величины а значения Uкр тоже растут.
Далее рассуждают следующим образом. Предположим, что число N достаточно велико. Тогда случайная величина 0зкс распределена приблизительно по закону Стьюдента. Если г = 0, то с большой (т.е. близкой к 1) вероятностью, равной 1 - а, значение Uэкс должно по модулю не превосходить Uкр, т.е. лежать между - кр и Uкр. А вот выходить за пределы отрезка [-Uкр, Uкр] величина Uзкс может только с вероятностью а (которую мы согласились считать малой). Поэтому если I Uзкс I > Uкр, то делают заключение о том, что гипотеза г = 0 экспериментальными данными не подтверждается, т.е. г значимо отличен от нуля и потому тренд является выраженным. Вероятность ошибки такого заключения не превосходит заданного уровня вероятности а. Если же | Uзкс | Например, пусть г*= 0.20 и N= 20. Тогда вычисление дает Uэкс = 0.87. Для уровня вероятности 5% находим из таблицы распределения Стьюдента Uкр = 2.10. Сравнивая Uэкс и Uкр, видим, что тут гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции отвергать нет основания. Тренд здесь не является выраженным.
Если в результате исследования выяснилось, что тренд является выраженным, то только тогда можно этот тренд использовать для прогнозирования временного ряда. Вычислив коэффициенты а и b уравнения линейного тренда, указанные выше, получаем линейную зависимость, которая на некотором промежутке времени приблизительно описывает тенденцию динамики временного ряда. Графиком является прямая линия, продолжив которую в будущее, мы можем делать предположения о том, каковы будут значения временного ряда в будущем. Однако тенденции имеют свойства меняться, поэтому в какой-то момент времени в поведении временного ряда наступает перелом, после которого старое уравнение тренда уже не может описывать адекватно временной ряд. Сложность заключается в том, что уловить этот переломный момент очень непросто. Исследование линейного тренда ничего не говорит о наличии в будущем точек поворота, так что при их поиске приходится использовать совсем другие методы. О некоторых из них будет сказано ниже.
Кроме линейного тренда, приходится рассматривать и тренды более сложной структуры. В техническом анализе в таких случаях говорят о замедлении или ускорении линейного тренда, как бы признавая, что он утратил свою линейность. При этом заранее указать ту функцию, с помощью которой можно описать этот тренд, обычно не представляется реальным. Поэтому часто на практике просто перебирают несколько простых функциональных зависимостей (которые могут содержать несколько параметров) и для каждой из них оценивают, насколько успешно функцией того или иного вида можно описать тенденцию рассматриваемого временного ряда. При наличии компьютера эти вычисления не занимают много времени, а иногда могут проводиться даже в автоматическом режиме, выделяющем среди нескольких заданных видов трендов оптимальный. Однако далеко не всегда среди рассмотренных функций есть та, которая действительно достаточно эффективно описывает тенденцию развития заданного временного ряда. В этом случае приходится идти другими путями. Так, часто в подобной ситуации производят различные преобразования членов временного ряда (логарифмирование, «дифференцирование» - образование разностей соседних членов ряда, «интегрирование» - суммирование последовательных членов ряда и др.) для того, чтобы попытаться получить временной ряд с ясно выраженным линейным трендом. Если это удается, то к полученному ряду применяют методы вычисления тренда, описанные выше, а потом обратным преобразованием возвращаются к исходному ряду.
б) Методы выявления скрытых зависимостей. Корреляционный анализ временных рядов. Спектральный анализ и его применения.
После того, как выявлен тренд, остается задача описать те колебания, которые временной ряд совершает вокруг этого тренда. Ведь ясно, что тренд - это просто тенденция, на ней основывать прогнозы рискованно, так как в разные промежутки времени реальная ситуация может отклоняться, причем весьма значительно, от тренда в ту или иную сторону. При этом отклонение в одну сторону может принести прибыль, а в другую - убытки. В техническом анализе в этом случае говорят об осцилляторах. Методика анализа осцилляторов до самого недавнего времени находилась на очень низком, практически на доматематическом уровне. Только в последние годы с приходом вычислительной техники и специалистов, имеющих хорошее математическое образование (они до сих пор реализовывали его в оборонной промышленности, которая во всем мире сейчас находится в упадке) при анализе осцилляторов стали использоваться достаточно современные методы (основанные на гармоническом и спектральном анализе).
Колебания вокруг тренда разделяют на регулярные (являющиеся комбинацией нескольких синусоидальных или близких к ним колебаний, имеющих разные частоты) и случайные. Для выделения регулярных колебаний (их еще иногда называют скрытыми закономерностями) в математике по "заказам" большого числа прикладных наук разработано множество разных методов. Даже просто перечислить их нет никакой возможности. Однако все эти методы принадлежат обычно к одной из двух больших групп.
В первой группе - методы, своим происхождением обязанные математической статистике, а точнее - теории корреляции. Теория корреляции изучает связи между случайными величинами, а также связи между отдельными значениями временных рядов, разделенных определенным промежутком времени (лагом). Если оказывается, например, что имеется тесная связь между значениями временного ряда, разделенными промежутком времени в 12 единиц, то это можно рассматривать как указание на то, что мы обнаружили колебательную компоненту (не обязательно точно синусоидальную) с периодом в 12 единиц времени. Практически такой анализ производят с помощью специальных программ, которые производят вычисление кореллограммы - оценки для функции корреляции (которая описывает корреляцию между значениями временного ряда, взятыми через всевозможные интервалы времени - лаги).
Вторая группа методов пришла из техники - там при анализе сигналов давно и с успехом используется спектральный анализ. С помощью специальных методов (разложения в тригонометрические ряды и интегралы Фурье) производится выделение наиболее значимых гармоник, которые и дают регулярную часть колебаний вокруг тренда. Здесь вычисления еще более громоздкие, чем в корреляционном анализе. однако ныне об этих сложностях можно совершенно забыть (компьютер производит все необходимые расчеты за несколько секунд). Поэтому настало время учиться анализировать те данные, которые предоставляет спектральный анализ и строить на основании этих данных прогнозы. Эти методы довольно чувствительны к погрешностям в задании исходных данных и потому иногда приводят к заключениям о наличии закономерностей в изучаемом процессе, которых на самом деле нет.
в) Стохастическое прогнозирование (модели ARIMA).
Стохастическое прогнозирование - построение прогнозов на основе разного рода стохастических моделей. Стохастическим модели - это такие модели, которые сконструированы с помощью понятий и методов теории случайных процессов. В частности, среди этих моделей имеются те, в которых будущие значения вычисляются с помощью формул, выражающих эти значения через несколько предыдущих (т.е. соответствующих предшествующим моментам времени) значений. Такого рода модели называют авторегрессионными. Есть модели и другого рода - в них процесс моделируется комбинацией нескольких абсолютно случайных процессов (называемых белым шумом). Эти модели называют моделями скользящего среднего. Понятие скользящего среднего в техническом анализе является одним из основных инструментов, Огромное число прогностических методик основано на различных комбинациях скользящих средних разных порядков" (соответствующих разным временным отрезкам - 7, 14 дней и др.). В инженерной практике сходный метод называется фи-" льтрацией сигнала. Наиболее эффективные модели используют оба указанных метода. Одна из самых распространенных. комбинированных моделей такого рода - это ARIMA. По-русски это звучит, как АРПСС и расшифровывается как Авто-Регрессия и Проинтегрированное Скользящее Среднее. Мы не будем здесь входить в подробности построения этих моделей - они достаточно сложны. Для тех, кто хочет всерьез ознакомиться с этим, самым эффективным классом стохастических моделей, рекомендуем обратиться к книге "Статистический анализ данных на компьютере" . Непосредственные вычисления в ARIAL производятся только с применением компьютера, так как они очень громоздки. Метод ARIMA является наиболее распространенным общим методом стохастического моделирования во многих областях, в том числе и при серьезном подходе к анализу данных и прогнозированию финансовой деятельности. После построения стохастической модели ее можно использовать для прогнозирования. Однако следует отметить, что прогноз в этой (как и во всех других математических моделях) выдается с указанными границами, в пределах которых возможна ошибка.
На приведенной диаграмме (она построена с помощью программы Statgraphics) указан прогноз, получаемый с помощью стохастической модели. Он состоит из основной линии и двух граничных, между которыми с заданной степенью уверенности (называемой доверительной вероятностью, она обычно равна 95%) будут находиться члены исследуемого временного ряда (например, ряда цен) в ближайшем будущем.
г) Использование чисел Фибоначчи. Методы Ганна.
Использование чисел Фибоначчи в техническом анализе имеет довольно давнюю историю. Сами зти числа были введены математиком Леонардо Пизанским (его называли Фибоначчи, - т.е. сын Боначчо, а Боначчо - добродушный - было прозвищем его отца) в его "Книге абака" в 1228 году, где он их использовал для вычисления роста потомства у Кроликов. На самом деле этот ряд чисел был известен еще в древнем Египте. В книге Фибоначчи приведены первые 14 чисел этого бесконечного ряда чисел.
Каждое число в этой последовательности равно сумме двух предыдущих. Первыми двумя числами берутся 1 и 1, а се последующие однозначно определяются с помощью указанного выше правила. Числа Фибоначчи особенно хорошо известны в развлекательной части математики, а также в некоторых разделах современной математики (издается даже международный математический журнал Fibonacci Quarterly, посвященный числам Фибоначчи и их применениям). Можно доказать, что отношение каждого числа Фибоначчи к последующему с ростом порядкового номера этого числа стремится к числу 0.618... - к знаменитому числу золотого сечения. Это число пользовалось огромной популярностью еще в средние века, а сейчас ему придается чуть ли не фундаментальное значение во многих областях искусства и науки. Однако очень часто на самом деле оказывается, что важную роль играет не само это число, а близкое к нему число 2/3 = 0.666666... Число 2/3 действительно фундаментально, оно символизирует троичное деление, а вот число золотого сечения часто используется просто "для красоты".
В техническом анализе есть несколько методов, которые связаны с использованием числа золотого сечения и нескольких производных от него чисел. Прежде всего можно отметить, что продолжительности отдельных элементов (волн) в волновой теории Р.Эллиотта (о которой будет рассказано ниже) связываются между собой именно с помощью этого числа. Кстати, само разделение цикла на 8=5+3 этапов в волновой теории указывает на числа Фибоначчи 3,5,8.
В техническом анализе для делений (вертикальными и наклонными прямыми) чарта используют число 0.618... и производные от него числа (например (0.61 8...] = 1-0.61 8...= 0382...). Например, строится сетка, соотношение сторон которой равно числу золотого сечения или отношению чисел Фибоначчи (что, как мы уже знаем, примерно одно и то же). Относительно этой сетки и изучаются отдельные элементы чарта (линии сопротивления и поддержки, точки поворота и другие характерные точки). Вертикальные линии этой сетки задают периоды Фибоначчи (причем в литературе рекомендуется игнорировать первые две-три линии этого разбиения). Можно также строить отдельные наклонные линии, тоже задаваемые числами Фибоначчи. Эти линии проводятся от ключевых точек графика (например, от точек поворота). Считается, что линии Фибоначчи сохраняют свое действие некоторое время и после изменения тренда, что позволяет использовать эти линии для прогнозирования. Однако во всех этих случаях можно просто использовать число 2/3 и получить ничуть не худшие результаты (хотя, может быть и не столь эффектно оформленные, как при использовании золотого сечения). С помощью таких делений иногда удается весьма эффективно описать движения цен. Однако при резком развороте рынка приходится заново перерисовывать все линии Фибоначчи.
Подробную систему графического анализа чартов разработал Уильям Ганн (1878-1955), который одним из первых стал использовать в техническом анализе геометрические методы. Он строил наклонные линии (линии Ганна), задаваемые числами 1/8, 1/4, 1/3, 3/8, 1/2, 5/8, 2/3, 3/4, 7/8, и использовал их, в частности, для нахождения линий сопротивления и поддержки - фундаментальных линий в графическом техническом анализе. При приближении к этим линиям Ценовой ряд прекращает рост (для линии сопротивления) или падение (для линий поддержки) или, по крайней мере, сильно замедляет их. При некотором желании среди этих чисел можно найти такие, которые приближенно выражаются через число золотого сечения и на этом основании сделать вывод, что это замечательное число и здесь играет основную роль. Однако идея Ганна была намного проще - он просто выписал последовательность тех чисел в отрезке , которые задаются достаточно простыми дробями.
Ганн строил лучи, исходящие их характерных точек чарта (обычно из точек поворота), чтобы получать линии сопротивления и поддержки. Самое трудное здесь - правильно выбрать исходную точку линий Ганна. Можно комбинировать сетку Фибоначчи и линии Ганна. Эти методы реализованы во многих программах технического анализа (таких, как, например, MetaStock).