Линейная зависимость и независимость векторов.
Важнейшим понятием в теории линейных пространств является линейная зависимость векторов. Прежде чем определить это понятие, рассмотрим несколько примеров.
Примеры. 1. Дана следующая система трех векторов из пространства Тк:
Легко заметить, что или
2. Возьмем теперь другую систему векторов из
Соотношение, аналогичное равенству (1), для этой системы векторов непосредственно усмотреть затруднительно. Однако нетрудно проверить, что
Коэффициенты 4, -7,5 соотношения (2) можно было бы найти следующим образом. Обозначим их через считая неизвестными, будем решать векторное уравнение:
Произведя указанные операции умножения и сложения и переходя к равенству компонент векторов в (2), получаем однородную систему линейных уравнений относительно
Одним из решений этой системы является:
3. Рассмотрим систему векторов:
Равенство
приводит к системе уравнений, имеющей единственное - нулевое - решение. (Проверьте!) Таким образом, из равенства (3) следует,
что Иначе говоря, равенство (3) выполняется только при
Системы векторов в примерах 1-2 являются линейно зависимыми, система примера 3 - линейно независимой.
Определение 3. Система векторов линейного пространства над полем называется линейно зависимой, если существуют не все равные нулю числа поля Я, такие, что
Если же для векторов равенство имеет место только при то система векторов называется линейно независимой.
Заметим, что свойство линейной зависимости и независимости является свойством системы векторов. Однако в литературе широко используют те же прилагательные в применении непосредственно к самим векторам и говорят, допуская вольность речи, «система линейно независимых векторов» и даже «векторы линейно независимы».
Если в системе имеется всего один вектор а, то при по свойству 6 (§ 2) из следует Значит, система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима. Напротив, любая система векторов содержащая нулевой вектор 0, линейно зависима. Например, если то
Если система двух векторов линейно зависима, то имеет место равенство при (или . Тогда
т. е. векторы пропорциональны. Верно и обратное, так как из следует Значит, система двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы пропорциональны.
Пропорциональные векторы из лежат на одной прямой; в связи с этим и в общем случае пропорциональные векторы иногда называют коллинеарными.
Отметим некоторые свойства линейной зависимости векторов.
Свойство 1. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.
Пусть линейно зависима подсистема
Тогда существуют не все равные нулю числа такие, что
Добавив в левую часть этого равенства остальные векторы данной системы с нулевыми коэффициентами, получим требуемое.
Из свойства 1 следует, что всякая подсистема линейно независимой системы векторов линейно независима.
Свойство 2. Если система векторов
линейно независима, а система векторов
линейно зависима, то вектор линейно выражается через векторы системы (4).
Так как система векторов (5) линейно зависима, то существуют не все равные нулю числа такие, что
Если то и тогда ненулевые коэффициенты будут среди что означало бы линейную зависимость системы (4). Значит, и
Свойство 3. Упорядоченная система ненулевых векторов
линейно зависима тогда и только тогда, когда некоторый вектор является линейной комбинацией предшествующих векторов.
Пусть система линейно зависима. Так как то вектор линейно независим. Обозначим через наименьшее натуральное число, при котором система линейно зависима. (Такое существует: в крайнем случае, если системы линейно независимы, то Тогда существуют не все равные нулю числа такие, что выполняется равенство
Если бы то ненулевые коэффициенты были бы среди и выполнялось бы равенство
что означало бы линейную зависимость системы но это противоречило бы выбору числа Значит, и потому
Обратно, из равенства (7) по свойству 1 следует линейная зависимость системы
Из свойства 3 легко следует, что система векторов тогда и только тогда линейно зависима, когда хотя бы один ее вектор линейно выражается через остальные. В этом смысле и говорят, что понятие линейной зависимости эквивалентно понятию линейной выражаемости.
Свойство 4. Если вектор х линейно выражается через векторы системы
а вектор линейно выражается через остальные векторы системы (8), то вектор также линейно выражается через эти векторы системы (8).
В самом деле,
Теперь можно доказать одну из важнейших теорем о линейной зависимости векторов.
Теорема 1. Если каждый вектор линейно независимой системы
есть линейная комбинация векторов
то Другими словами, в линейно независимой системе векторов, являющихся линейными комбинациями векторов число векторов не может быть больше
Доказательство. 1-й шаг. Построим систему
По условию каждый вектор системы (9), в частности вектор линейно выражается через векторы (10), а потому система (11) линейно зависима. По свойству 3 в системе (11) некоторый вектор где линейно выражается через предшествующие векторы, а потому и через векторы системы
полученной из (11) удалением вектора Отсюда по свойству 4 имеем: каждый вектор системы (9) линейно выражается через векторы системы (12).
2-й шаг. Применяя те же рассуждения, что и на шаге, к системам векторов
и (12) и учитывая, что система векторов линейно независима, мы получим систему векторов
через которые линейно выражаются все векторы системы (9).
Если допустить, что то, продолжая этот процесс, мы через шагов исчерпаем все векторы и получим систему
такую, что каждый вектор системы (9), в частности линейно выражается через векторы системы (14). Тогда система (9) оказывается линейно зависимой, что противоречит условию. Остается принять, что
Рассмотрим теперь, что означает линейная зависимость векторов в различных пространствах.
1. Пространство Если система двух векторов линейно зависима, то или т. е. векторы коллинеарны. Верно и обратное. Система трех векторов пространства линейно зависима тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости. (Докажите!) Система четырех векторов пространства всегда линейно зависима. В самом деле, если какая-либо подсистема нашей системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима. Если же никакая собственная подсистема не является линейно зависимой, то по предыдущему это означает, что никакие три вектора нашей системы не лежат на одной плоскости. Тогда из геометрических соображений следует существование вещественных чисел таких, что параллелепипед с ребрами-векторами будет иметь диагональ т. е. в равенстве
Линейная зависимость и независимость векторов
Определения линейно зависимой и независимой систем векторов
Определение 22
Пусть имеем систему из n-векторови имеем набор чисел , тогда
(11)
называется линейной комбинацией данной системы векторов с данным набором коэффициентов.
Определение 23
Система векторовназываетсялинейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов, из которых хотя бы один не равен нулю, что линейная комбинация данной системы векторов с этим набором коэффициентов равна нулевому вектору:
Пусть , тогда
Определение 24 (через представление одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)
Система векторов называетсялинейно зависимой, если хотя бы один из векторов этой системы можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов этой системы.
Утверждение 3
Определения 23 и 24 эквивалентны.
Определение 25 (через нулевую линейную комбинацию)
Система векторов называетсялинейно независимой, если нулевая линейная комбинация этой системы возможна лишь при всехравных нулю.
Определение 26 (через невозможность представления одного вектора системы в виде линейной комбинации остальных)
Система векторов называетсялинейно независимой, если не один из векторов этой системы нельзя представить в виде линейной комбинации других векторов этой системы.
Свойства линейно зависимой и независимой систем векторов
Теорема 2 (нулевой вектор в системе векторов)
Если в системе векторов имеется нулевой вектор, то система линейно зависима.
Пусть, тогда.
Получим , следовательно, по определению линейно зависимой системы векторов через нулевую линейную комбинацию(12) система линейно зависима.
Теорема 3 (зависимая подсистема в системе векторов)
Если в системе векторов имеется линейно зависимая подсистема, то и вся система линейно зависима.
Пусть- линейно зависимая подсистема, среди которых хотя бы одно не равно нулю:
Значит, по определению 23, система линейно зависима.
Теорема 4
Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.
От противного. Пусть система линейно независима и в ней имеется линейно зависимая подсистема. Но тогда по теореме 3 вся система будет также линейно зависимой. Противоречие. Следовательно, подсистема линейно независимой системы не может быть линейно зависимой.
Геометрический смысл линейной зависимости и независимости системы векторов
Теорема 5
Два вектора илинейно зависимы тогда и только тогда, когда.
Необходимость.
и- линейно зависимы, что выполняется условие. Тогда, т.е..
Достаточность.
линейно зависимы.
Следствие 5.1
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору
Следствие 5.2
Для того чтобы два вектора были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы был не коллинеарен .
Теорема 6
Для того чтобы система из трёх векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы эти векторы были компланарными.
Необходимость.
Линейно зависимы, следовательно, один вектор можно представить в виде линейной комбинации двух других.
где и. По правилу параллелограммаесть диагональ параллелограмма со сторонами, но параллелограмм – плоская фигуракомпланарны- тоже компланарны.
Достаточность .
Компланарны. Приложим три вектора к точке О:
– линейно зависимы
Следствие 6.1
Нулевой вектор компланарен любой паре векторов.
Следствие 6.2
Для того чтобы векторы были линейно независимы необходимо и достаточно, чтобы они были не компланарны.
Следствие 6.3
Любой вектор плоскости можно представить в виде линейной комбинации любых двух неколлинеарных векторов этой же плоскости.
Теорема 7
Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.
Рассмотрим 4 случая:
Проведем плоскость через векторы , затем плоскость через векторы и плоскость через векторы . Затем проведем плоскости, проходящие через точкуD, параллельные парам векторов ; ; соответственно. По линиям пересечения плоскостей строим параллелепипедOB 1 D 1 C 1 ABDC .
Рассмотрим OB 1 D 1 C 1 – параллелограмм по построению по правилу параллелограмма.
Рассмотрим OADD 1 – параллелограмм (из свойства параллелепипеда), тогда
EMBED Equation.3 .
По теореме 1 такие, что. Тогда, и по определению 24 система векторов линейно зависимая.
Следствие 7.1
Суммой трёх некомпланарных векторов в пространстве является вектор, совпадающий с диагональю параллелепипеда, построенного на этих трёх векторах, приложенных к общему началу, причём начало вектора суммы совпадает с общим началом этих трёх векторов.
Следствие 7.2
Если в пространстве взять 3 некомпланарных вектора, то любой вектор этого пространства можно разложить в линейную комбинацию данных трёх векторов.
Задача 1. Выяснить, является ли система векторов линейно независимой. Систему векторов будем задавать матрицей системы, столбцы которой состоят из координат векторов.
Решение. Пусть линейная комбинация равна нулю. Записав это равенство в координатах, получим следующую систему уравнений:
Такая система уравнений называется треугольной. Она имеет единственное решение . Следовательно, векторы линейно независимы.
Задача 2. Выяснить, является ли линейно независимой система векторов.
Решение. Векторы линейно независимы (см. задачу 1). Докажем, что вектор является линейной комбинацией векторов . Коэффициенты разложения по векторам определяются из системы уравнений
Эта система, как треугольная, имеет единственное решение.
Следовательно, система векторов линейно зависима.
Замечание . Матрицы, такого вида, как в задаче 1, называются треугольными , а в задаче 2 – ступенчато-треугольными . Вопрос о линейной зависимости системы векторов легко решается, если матрица, составленная из координат этих векторов, является ступенчато треугольной. Если матрица не имеет специального вида, то с помощью элементарных преобразований строк , сохраняющих линейные соотношения между столбцами, её можно привести к ступенчато-треугольному виду.
Элементарными преобразованиями строк матрицы(ЭПС) называются следующие операции над матрицей:
1) перестановка строк;
2) умножение строки на отличное от нуля число;
3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.
Задача 3. Найти максимальную линейно независимую подсистему и вычислить ранг системы векторов
Решение. Приведем матрицу системы с помощью ЭПС к ступенчато-треугольному виду. Чтобы объяснить порядок действий, строчку с номером преобразуемой матрицы обозначим символом . В столбце после стрелки указаны действия над строками преобразуемой матрицы, которые надо выполнить для получения строк новой матрицы.
Очевидно, что первые два столбца полученной матрицы линейно независимы, третий столбец является их линейной комбинацией, а четвертый не зависит от двух первых. Векторы называются базисными. Они образуют максимальную линейно независимую подсистему системы , а ранг системы равен трем.
Базис, координаты
Задача 4. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве геометрических векторов, координаты которых удовлетворяют условию .
Решение . Множество является плоскостью, проходящей через начало координат. Произвольный базис на плоскости состоит из двух неколлинеарных векторов. Координаты векторов в выбранном базисе определяются решением соответствующей системы линейных уравнений.
Существует и другой способ решения этой задачи, когда найти базис можно по координатам.
Координаты пространства не являются координатами на плоскости , так как они связаны соотношением , то есть не являются независимыми. Независимые переменные и (они называются свободными) однозначно определяют вектор на плоскости и, следовательно, они могут быть выбраны координатами в . Тогда базис состоит из векторов, лежащих в и соответствующих наборам свободных переменных и , то есть .
Задача 5. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех векторов пространства , у которых нечетные координаты равны между собой.
Решение . Выберем, как и в предыдущей задаче, координаты в пространстве .
Так как , то свободные переменные однозначно определяют вектор из и, следовательно, являются координатами. Соответствующий базис состоит из векторов .
Задача 6. Найти базис и координаты векторов в этом базисе на множестве всех матриц вида , где – произвольные числа.
Решение . Каждая матрица из однозначно представима в виде:
Это соотношение является разложением вектора из по базису с координатами .
Задача 7. Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов
Решение. Преобразуем с помощью ЭПС матрицу из координат векторов системы к ступенчато-треугольному виду.
Столбцы последней матрицы линейно независимы, а столбцы линейно выражаются через них. Следовательно, векторы образуют базис , и .
Замечание . Базис в выбирается неоднозначно. Например, векторы также образуют базис .
Определение 1 . Линейной комбинацией векторовназывается сумма произведений этих векторов на скаляры:
Определение 2 . Система векторовназывается линейно зависимой системой, если линейная комбинация их (2.8) обращается в нуль:
причем среди чиселсуществует хотя бы одно, отличное от нуля.
Определение 3 . Векторыназываются линейно независимыми, если их линейная комбинация (2.8) обращается в нуль лишь в случае, когда все числа.
Из этих определений можно получить следующие следствия.
Следствие 1 . В линейно зависимой системе векторов хотя бы один вектор может быть выражен как линейная комбинация остальных.
Доказательство . Пусть выполнено (2.9) и пусть для определенности, коэффициент. Имеем тогда:. Заметим, что справедливо и обратное утверждение.
Следствие 2. Если система векторовсодержит нулевой вектор, то эта система (обязательно) линейно зависима – доказательство очевидно.
Следствие 3 . Если средиn векторовкакие либоk () векторов линейно зависимы, то и всеn векторов линейно зависимы (опустим доказательство).
2 0 . Линейные комбинации двух, трех и четырех векторов . Рассмотрим вопросы линейной зависимости и независимости векторов на прямой, плоскости и в пространстве. Приведем соответствующие теоремы.
Теорема 1 . Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Необходимость . Пусть векторыилинейно зависимы. Это означает, что их линейная комбинация=0 и (ради определенности). Отсюда следует равенство, и (по определению умножения вектора на число) векторыиколлинеарны.
Достаточность . Пусть векторыиколлинеарны (║) (предполагаем, что они отличны от нулевого вектора; иначе их линейная зависимость очевидна).
По теореме (2.7) (см. §2.1,п.2 0) тогдатакое, что, или– линейная комбинация равна нулю, причем коэффициент приравен 1 – векторыилинейно зависимы.
Из этой теоремы вытекает следующее следствие.
Следствие . Если векторыине коллинеарны, то они линейно независимы.
Теорема 2 . Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Необходимость . Пусть векторы,илинейно зависимы. Покажем, что они компланарны.
Из определения линейной зависимости векторов следует существование чисел итаких, что линейная комбинация, и при этом (для определенности). Тогда из этого равенства можно выразить вектор:=, то есть векторравен диагонали параллелограмма, построенного на векторах, стоящих в правой части этого равенства (рис.2.6). Это означает, что векторы,илежат в одной плоскости.
Достаточность . Пусть векторы,икомпланарны. Покажем, что они линейно зависимы.
Исключим случай коллинеарности какой либо пары векторов (ибо тогда эта пара линейно зависима и по следствию 3 (см.п.1 0) все три вектора линейно зависимы). Заметим, что такое предположение исключает также существование нулевого вектора среди указанных трех.
Перенесем три компланарных вектора в одну плоскость и приведем их к общему началу. Через конец вектора проведем прямые, параллельные векторами; получим при этом векторыи(рис.2.7) – их существование обеспечено тем, что векторыине коллинеарные по предположению векторы. Отсюда следует, что вектор=+. Переписав это равенство в виде (–1)++=0, заключаем, что векторы,илинейно зависимы.
Из доказанной теоремы вытекает два следствия.
Следствие 1 . Пустьине коллинеарные векторы, вектор– произвольный, лежащий в плоскости, определяемой векторамии, вектор. Существуют тогда числаитакие, что
Следствие 2 . Если векторы,ине компланарны, то они линейно независимы.
Теорема 3 . Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство опустим; с некоторыми изменениями оно копирует доказательство теоремы 2. Приведем следствие из этой теоремы.
Следствие . Для любых некомпланарных векторов,,и любого вектораитакие, что
Замечание . Для векторов в (трехмерном) пространстве понятия линейной зависимости и независимости имеют, как это следует из приведенных выше теорем 1-3, простой геометрический смысл.
Пусть имеются два линейно зависимых вектора и. В таком случае один из них является линейной комбинацией второго, то есть просто отличается от него численным множителем (например,). Геометрически это означает, что оба вектора находятся на общей прямой; они могут иметь одинаковое или противоположное направления (рис.2.8 хх).
Если же два вектора расположены под углом друг к другу (рис.2.9 хх), то в этом случае нельзя получить один из них умножением другого на число – такие векторы линейно независимы. Следовательно, линейная независимость двух векторов иозначает, что эти векторы не могут быть уложены на одну прямую.
Выясним геометрический смысл линейной зависимости и независимости трех векторов.
Пусть векторы ,илинейно зависимы и пусть (для определенности) векторявляется линейной комбинацией векторови, то есть расположен в плоскости, содержащей векторыи. Это означает, что векторы,илежат в одной плоскости. Справедливо и обратное утверждение: если векторы,илежат в одной плоскости, то они линейно зависимы.
Таким образом, векторы ,илинейно независимы в том и только в том случае, если они не лежат в одной плоскости.
3 0 . Понятие базиса . Одним из важнейших понятий линейной и векторной алгебры является понятие базиса. Введем определения.
Определение 1 . Пара векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор этой пары считается первым, а какой вторым.
Определение 2. Упорядоченная пара,неколлинеарных векторов называется базисом на плоскости, определяемой заданными векторами.
Теорема 1 . Всякий векторна плоскости может быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов,:
и это представление единственно.
Доказательство . Пусть векторыиобразуют базис. Тогда любой векторможно представить в виде.
Для доказательства единственности предположим, что имеется еще одно разложение . Имеем тогда=0, причем хотя бы одна из разностей отлична от нуля. Последнее означает, что векторыилинейно зависимы, то есть коллинеарны; это противоречит утверждению, что они образуют базис.
Но тогда – разложение единственно.
Определение 3 . Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор ее считается первым, какой вторым, а какой третьим.
Определение 4 . Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом в пространстве.
Здесь также справедлива теорема разложения и единственности.
Теорема 2 . Любой векторможет быть представлен как линейная комбинация базисной системы векторов,,:
и это представление единственно (опустим доказательство теоремы).
В разложениях (2.12) и (2.13) величины называются координатами векторав заданном базисе (точнее, аффинными координатами).
При фиксированном базисе иможно писать.
Например, если задан базис и дано, что, то это означает, что имеет место представление (разложение).
4 0 . Линейные операции над векторами в координатной форме . Введение базиса позволяет линейные операции над векторами заменить обычными линейными операциями над числами – координатами этих векторов.
Пусть задан некоторый базис . Очевидно, задание координат вектора в этом базисе полностью определяет сам вектор. Имеют место следующие предложения:
а) два вектора иравны тогда и только тогда, когда равны их соответственные координаты:
б) при умножении вектора на числоего координаты умножаются на это число:
в) при сложении векторов складываются их соответственные координаты:
Доказательства этих свойств опустим; докажем лишь для примера свойство б). Имеем
Замечание . В пространстве (на плоскости) можно выбрать бесконечно много базисов.
Приведем пример перехода от одного базиса к другому, установим соотношения между координатами вектора в различных базисах.
Пример 1 . В базисной системезаданы три вектора:,и. В базисе,,векторимеет разложение. Найти координаты векторав базисе.
Решение . Имеем разложения:,,; следовательно,=+2+= =, то естьв базисе.
Пример 2 . Пусть в некотором базисечетыре вектора заданы своими координатами:,,и.
Выяснить, образуют ли векторы базис; в случае положительного ответа найти разложение векторав этом базисе.
Решение . 1) векторы образуют базис, если они линейно независимы. Составим линейную комбинацию векторов() и выясним, при какихиона обращается в нуль:=0. Имеем:
По определению равенства векторов в координатной форме получим следующую систему (линейных однородных алгебраических) уравнений: ;;, определитель которой=1, то есть система имеет (лишь) тривиальное решение. Это означает линейную независимость векторови, следовательно, они образуют базис.
2) разложим вектор в этом базисе. Имеем:=или в координатной форме.
Переходя к равенству векторов в координатной форме, получим систему линейных неоднородных алгебраических уравнений: ;;. Решая ее (например, по правилу Крамера), получим:,,и (). Имеем разложение векторав базисе:=.
5 0 . Проекция вектора на ось. Свойства проекций. Пусть имеется некоторая осьl , то есть прямая с выбранным на ней направлением и пусть задан некоторый вектор.Определим понятие проекции векторана осьl .
Определение . Проекцией векторана осьl называется произведение модуля этого вектора на косинус угла между осьюl и вектором (рис.2.10):
Следствием этого определения является утверждение о том, что равные векторы имеют равные проекции (на одну и ту же ось).
Отметим свойства проекций.
1) проекция суммы векторов на некоторую ось l равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось:
2) проекция произведения скаляра на вектор равна произведению этого скаляра на проекцию вектора на ту же ось:
Следствие . Проекция линейной комбинации векторов на ось равна линейной комбинации их проекций:
Доказательства свойств опустим.
6 0 . Прямоугольная декартова система координат в пространстве .Разложение вектора по ортам осей. Пусть в качестве базиса выбраны три взаимно перпендикулярных орта; для них вводим специальные обозначения. Поместив их начала в точкуO , направим по ним (в соответствии с ортами) координатные осиOx ,Oy иOz (ось с выбранным на ней положительным направлением, началом отсчета и единицей длины называется координатной осью).
Определение . Упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.
Ось Ox называется осью абсцисс,Oy – осью ординат иOz – осью аппликат.
Займемся разложением произвольного вектора по базису . Из теоремы (см.§2.2,п.3 0 , (2.13)) следует, чтоможет быть и единственным образом разложен по базису(здесь вместо обозначения координатупотребляют):
В (2.21) суть (декартовы прямоугольные) координаты вектора. Смысл декартовых координат устанавливает следующая теорема.
Теорема . Декартовы прямоугольные координатывектораявляются проекциями этого вектора соответственно на осиOx ,Oy иOz .
Доказательство. Поместим векторв начало системы координат – точкуO . Тогда его конец будет совпадать с некоторой точкой.
Проведем через точку три плоскости, параллельные координатным плоскостямOyz ,Oxz иOxy (рис.2.11 хх). Получим тогда:
В (2.22) векторы иназываются составляющими векторапо осямOx ,Oy иOz .
Пусть через иобозначены соответственно углы, образованные векторомс ортами. Тогда для составляющих получим следующие формулы:
= =, = =, = =(2.23)
Из (2.21), (2.22) (2.23) находим:
– координаты вектораесть проекции этого вектора на координатные осиOx ,Oy иOz соответственно.
Замечание . Числаназываются направляющими косинусами вектора.
Модуль вектора (диагональ прямоугольного параллелепипеда) вычисляется по формуле:
Из формул (2.23) и (2.24) следует, что направляющие косинусы могут быть вычислены по формулам:
Возводя обе части каждого из равенств в (2.25) и складывая почленно левые и правые части полученных равенств, придем к формуле:
– не любые три угла образуют некоторое направление в пространстве, но лишь те, косинусы которых связаны соотношением (2.26).
7 0 . Радиус-вектор и координаты точки .Определение вектора по его началу и концу . Введем определение.
Определение . Радиусом-вектором (обозначается) называется вектор, соединяющий начало координатO с этой точкой (рис.2.12 хх):
Любой точке пространства соответствует определенный радиус-вектор (и обратно). Таким образом, точки пространства представляются в векторной алгебре их радиус-векторами.
Очевидно, координаты точкиM являются проекциями ее радиус-векторана координатные оси:
и, таким образом,
– радиус-вектор точки есть вектор, проекции которого на оси координат равны координатам этой точки. Отсюда следует две записи: и.
Получим формулы для вычисления проекций вектора по координатам его начала – точкеи конца – точке.
Проведем радиус-векторы и вектор(рис.2.13). Получим, что
– проекции вектора на координатные орты равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора.
8 0 . Некоторые задачи на декартовы координаты .
1) условия коллинеарности векторов . Из теоремы (см.§2.1,п.2 0 , формула (2.7)) следует, что для коллинеарности векторовинеобходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:=. Из этого векторного равенства получаем три в координатной форме равенства:, откуда следует условие коллинеарности векторов в координатной форме:
– для коллинеарности векторов инеобходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны.
2) расстояние между точками . Из представления (2.29) следует, что расстояниемежду точкамииопределяется формулой
3) деление отрезка в данном отношении . Пусть даны точкиии отношение. Нужно найти– координаты точкиM (рис.2.14).
Имеем из условия коллинеарности векторов: , откудаи
Из (2.32) получим в координатной форме:
Из формул (2.32’) можно получить формулы для вычисления координат середины отрезка , полагая:
Замечание . Будем считать отрезкииположительными или отрицательными в зависимости от того, совпадает их направление с направлением от началаотрезка к концу, или не совпадает. Тогда по формулам (2.32) – (2.32”) можно находить координат точки, делящей отрезоквнешним образом, то есть так, что делящая точкаM находится на продолжении отрезка, а не внутри его. При этом конечно,.
4) уравнение сферической поверхности . Составим уравнение сферической поверхности – геометрического места точек, равноудаленных на расстояниеот некоторого фиксированного центра – точки. Очевидно, что в данном случаеи с учетом формулы (2.31)
Уравнение (2.33) и есть уравнение искомой сферической поверхности.
Пусть - поле скаляров и F - его основное множество. Пусть - -мерное арифметическое пространство над - произвольная система векторов пространства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейной комбинацией системы векторов называется сумма вида где . Скаляры называются коэффициентами линейной комбинации. Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один ее коэффициент отличен от нуля. Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты равны нулю.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество всех линейных комбинаций векторов системы называется линейной оболочкой этой системы и обозначается через . Линейной оболочкой пустой системы считается множество, состоящее из нулевого вектора.
Итак, по определению,
Легко видеть, что линейная оболочка данной системы векторов замкнута относительно операций сложения векторов, вычитания векторов и умножений векторов на скаляры.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов называется линейно независимой, если для любых скаляров из равенства следуют равенства . Пустая система векторов
считается линейно независимой.
Другими словами, конечная система векторов линейно независима в том и только в том случае, когда всякая нетривиальная линейная комбинация векторов системы не равна нулевому вектору.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют скаляры не все равные нулю, такие, что
Другими словами, конечная система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация векторов системы, равная нулевому вектору.
Система векторов
называется системой единичных векторов векторного пространства Эта система векторов линейно независима. В самом деле, для любых скаляров из равенства следует равенство и, значит, равенства
Рассмотрим свойства линейной зависимости и независимости системы векторов.
СВОЙСТВО 1.1. Система векторов, содержащая нуле вой вектор, линейно зависима.
Доказательство. Если в системе векторов один из векторов, например вектор нулевой, то линейная комбинация векторов системы, все коэффициенты которой нулевые, за исключением коэффициента при равна нулевому вектору. Следовательно, такая система векторов линейно зависима.
СВОЙСТВО 1.2. Система векторов линейно зависима, если какая-нибудь ее подсистема линейно зависима.
Доказательство. Пусть - линейно зависимая подсистема системы причем хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Тогда Следовательно, система векторов линейно зависима.
СЛЕДСТВИЕ. Любая подсистема линейно независимой системы линейно независима.
СВОЙСТВО 1.3. Система векторов
в которой линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией предшествующих векторов.
Доказательство. Пусть система (1) линейно зависима и Тогда существуют скаляры не все равные нулю, такие, что
Обозначим через k наибольшее из чисел удовлетворяющее условию Тогда равенство (2) можно записать в виде
Отметим, что ибо в противном случае следовательно, поскольку . Из (3) следует равенство
Предположим теперь, что вектор есть линейная комбинация предшествующих ему векторов, т. е. Тогда , т. е. подсистема системы (1) линейно зависима. Следовательно, по свойству 1.2, линейно зависима и исходная система (1).
СВОЙСТВО 1.4. Если система векторов линейно независима, а система векторов
линейно зависима, то вектор v линейно выражается через векторы
и притом единственным образом.
Доказательство. По условию система (2) линейно зависима, т. е. существуют скаляры не все равные нулю, такие, что
При этом так как при что противоречит линейной независимости системы (1). Из (3) следует равенство
В силу линейной независимости системы (1) отсюда следует, что
СВОЙСТВО 1.5. Если и
Доказательство. Условие означает что найдутся такие скаляры что
Условие означает, что существуют такие скаляры что
В силу (1) и (2) получаем
ТЕОРЕМА 1.2. Если
то система векторов линейно зависима. Доказательство (проводится индукцией по ).