Уравнение регрессии. Уравнение множественной регрессии

Во время учебы студенты очень часто сталкиваются с разнообразными уравнениями. Одно из них - уравнение регрессии - рассмотрено в данной статье. Такой тип уравнения применяется специально для описания характеристики связи между математическими параметрами. Данный вид равенств используют в статистике и эконометрике.

Определение понятия регрессии

В математике под регрессией подразумевается некая величина, описывающая зависимость среднего значения совокупности данных от значений другой величины. Уравнение регрессии показывает в качестве функции определенного признака среднее значение другого признака. Функция регрессии имеет вид простого уравнения у = х, в котором у выступает зависимой переменной, а х - независимой (признак-фактор). Фактически регрессия выражаться как у = f (x).

Какие бывают типы связей между переменными

В общем, выделяется два противоположных типа взаимосвязи: корреляционная и регрессионная.

Первая характеризуется равноправностью условных переменных. В данном случае достоверно не известно, какая переменная зависит от другой.

Если же между переменными не наблюдается равноправности и в условиях сказано, какая переменная объясняющая, а какая - зависимая, то можно говорить о наличии связи второго типа. Для того чтобы построить уравнение линейной регрессии, необходимо будет выяснить, какой тип связи наблюдается.

Виды регрессий

На сегодняшний день выделяют 7 разнообразных видов регрессии: гиперболическая, линейная, множественная, нелинейная, парная, обратная, логарифмически линейная.

Гиперболическая, линейная и логарифмическая

Уравнение линейной регрессии применяют в статистике для четкого объяснения параметров уравнения. Оно выглядит как у = с+т*х+Е. Гиперболическое уравнение имеет вид правильной гиперболы у = с + т / х + Е. Логарифмически линейное уравнение выражает взаимосвязь с помощью логарифмической функции: In у = In с + т* In x + In E.

Множественная и нелинейная

Два более сложных вида регрессии - это множественная и нелинейная. Уравнение множественной регрессии выражается функцией у = f(х 1 , х 2 ...х с)+E. В данной ситуации у выступает зависимой переменной, а х - объясняющей. Переменная Е - стохастическая, она включает влияние других факторов в уравнении. Нелинейное уравнение регрессии немного противоречиво. С одной стороны, относительно учтенных показателей оно не линейное, а с другой стороны, в роли оценки показателей оно линейное.

Обратные и парные виды регрессий

Обратная - это такой вид функции, который необходимо преобразовать в линейный вид. В самых традиционных прикладных программах она имеет вид функции у = 1/с + т*х+Е. Парное уравнение регрессии демонстрирует взаимосвязь между данными в качестве функции у = f (x) + Е. Точно так же, как и в других уравнениях, у зависит от х, а Е - стохастический параметр.

Понятие корреляции

Это показатель, демонстрирующий существование взаимосвязи двух явлений или процессов. Сила взаимосвязи выражается в качестве коэффициента корреляции. Его значение колеблется в рамках интервала [-1;+1]. Отрицательный показатель говорит о наличии обратной связи, положительный - о прямой. Если коэффициент принимает значение, равное 0, то взаимосвязи нет. Чем ближе значение к 1 - тем сильнее связь между параметрами, чем ближе к 0 - тем слабее.

Методы

Корреляционные параметрические методы могут оценить тесноту взаимосвязи. Их используют на базе оценки распределения для изучения параметров, подчиняющихся закону нормального распределения.

Параметры уравнения линейной регрессии необходимы для идентификации вида зависимости, функции регрессионного уравнения и оценивания показателей избранной формулы взаимосвязи. В качестве метода идентификации связи используется поле корреляции. Для этого все существующие данные необходимо изобразить графически. В прямоугольной двухмерной системе координат необходимо нанести все известные данные. Так образуется поле корреляции. Значение описывающего фактора отмечаются вдоль оси абсцисс, в то время как значения зависимого - вдоль оси ординат. Если между параметрами есть функциональная зависимость, они выстраиваются в форме линии.

В случае если коэффициент корреляции таких данных будет менее 30 %, можно говорить о практически полном отсутствии связи. Если он находится между 30 % и 70 %, то это говорит о наличии связей средней тесноты. 100 % показатель - свидетельство функциональной связи.

Нелинейное уравнение регрессии так же, как и линейное, необходимо дополнять индексом корреляции (R).

Корреляция для множественной регрессии

Коэффициент детерминации является показателем квадрата множественной корреляции. Он говорит о тесноте взаимосвязи представленного комплекса показателей с исследуемым признаком. Он также может говорить о характере влияния параметров на результат. Уравнение множественной регрессии оценивают с помощью этого показателя.

Для того чтобы вычислить показатель множественной корреляции, необходимо рассчитать его индекс.

Метод наименьших квадратов

Данный метод является способом оценивания факторов регрессии. Его суть заключается в минимизировании суммы отклонений в квадрате, полученных вследствие зависимости фактора от функции.

Парное линейное уравнение регрессии можно оценить с помощью такого метода. Этот тип уравнений используют в случае обнаружения между показателями парной линейной зависимости.

Параметры уравнений

Каждый параметр функции линейной регрессии несет определенный смысл. Парное линейное уравнение регрессии содержит два параметра: с и т. Параметр т демонстрирует среднее изменение конечного показателя функции у, при условии уменьшения (увеличения) переменной х на одну условную единицу. Если переменная х - нулевая, то функция равняется параметру с. Если же переменная х не нулевая, то фактор с не несет в себе экономический смысл. Единственное влияние на функцию оказывает знак перед фактором с. Если там минус, то можно сказать о замедленном изменении результата по сравнению с фактором. Если там плюс, то это свидетельствует об ускоренном изменении результата.

Каждый параметр, изменяющий значение уравнения регрессии, можно выразить через уравнение. Например, фактор с имеет вид с = y - тх.

Сгруппированные данные

Бывают такие условия задачи, в которых вся информация группируется по признаку x, но при этом для определенной группы указываются соответствующие средние значения зависимого показателя. В таком случае средние значения характеризуют, каким образом изменяется показатель, зависящий от х. Таким образом, сгруппированная информация помогает найти уравнение регрессии. Ее используют в качестве анализа взаимосвязей. Однако у такого метода есть свои недостатки. К сожалению, средние показатели достаточно часто подвергаются внешним колебаниям. Данные колебания не являются отображением закономерности взаимосвязи, они всего лишь маскируют ее «шум». Средние показатели демонстрируют закономерности взаимосвязи намного хуже, чем уравнение линейной регрессии. Однако их можно применять в виде базы для поиска уравнения. Перемножая численность отдельной совокупности на соответствующую среднюю можно получить сумму у в пределах группы. Далее необходимо подбить все полученные суммы и найти конечный показатель у. Чуть сложнее производить расчеты с показателем суммы ху. В том случае если интервалы малы, можно условно взять показатель х для всех единиц (в пределах группы) одинаковым. Следует перемножить его с суммой у, чтобы узнать сумму произведений x на у. Далее все суммы подбиваются вместе и получается общая сумма ху.

Множественное парное уравнение регрессии: оценка важности связи

Как рассматривалось ранее, множественная регрессия имеет функцию вида у = f (x 1 ,x 2 ,…,x m)+E. Чаще всего такое уравнение используют для решения проблемы спроса и предложения на товар, процентного дохода по выкупленным акциям, изучения причин и вида функции издержек производства. Ее также активно применяют в самых разнообразным макроэкономических исследованиях и расчетах, а вот на уровне микроэкономики такое уравнение применяют немного реже.

Основной задачей множественной регрессии является построение модели данных, содержащих огромное количество информации, для того чтобы в дальнейшем определить, какое влияние имеет каждый из факторов по отдельности и в их общей совокупности на показатель, который необходимо смоделировать, и его коэффициенты. Уравнение регрессии может принимать самые разнообразные значения. При этом для оценки взаимосвязи обычно используется два типа функций: линейная и нелинейная.

Линейная функция изображается в форме такой взаимосвязи: у = а 0 + a 1 х 1 + а 2 х 2 ,+ ... + a m x m . При этом а2, a m , считаются коэффициентами «чистой» регрессии. Они необходимы для характеристики среднего изменения параметра у с изменением (уменьшением или увеличением) каждого соответствующего параметра х на одну единицу, с условием стабильного значения других показателей.

Нелинейные уравнения имеют, к примеру, вид степенной функции у=ах 1 b1 х 2 b2 ...x m bm . В данном случае показатели b 1 , b 2 ..... b m - называются коэффициентами эластичности, они демонстрируют, каким образом изменится результат (на сколько %) при увеличении (уменьшении) соответствующего показателя х на 1 % и при стабильном показателе остальных факторов.

Какие факторы необходимо учитывать при построении множественной регрессии

Для того чтобы правильно построить множественную регрессию, необходимо выяснить, на какие именно факторы следует обратить особое внимание.

Необходимо иметь определенное понимание природы взаимосвязей между экономическими факторами и моделируемым. Факторы, которые необходимо будет включать, обязаны отвечать следующим признакам:

Должны быть подвластны количественному измерению. Для того чтобы использовать фактор, описывающий качество предмета, в любом случае следует придать ему количественную форму.
Не должна присутствовать интеркорреляция факторов, или функциональная взаимосвязь. Такие действия чаще всего приводят к необратимым последствиям - система обыкновенных уравнений становится не обусловленной, а это влечет за собой ее ненадежность и нечеткость оценок.
В случае существования огромного показателя корреляции не существует способа для выяснения изолированного влияния факторов на окончательный результат показателя, следовательно, коэффициенты становятся неинтерпретируемыми.

Методы построения

Существует огромное количество методов и способов, объясняющих, каким образом можно выбрать факторы для уравнения. Однако все эти методы строятся на отборе коэффициентов с помощью показателя корреляции. Среди них выделяют:

Способ исключения.
Способ включения.
Пошаговый анализ регрессии.

Первый метод подразумевает отсев всех коэффициентов из совокупного набора. Второй метод включает введение множества дополнительных факторов. Ну а третий - отсев факторов, которые были ранее применены для уравнения. Каждый из этих методов имеет право на существование. У них есть свои плюсы и минусы, но они все по-своему могут решить вопрос отсева ненужных показателей. Как правило, результаты, полученные каждым отдельным методом, достаточно близки.

Методы многомерного анализа

Такие способы определения факторов базируются на рассмотрении отдельных сочетаний взаимосвязанных признаков. Они включают в себя дискриминантный анализ, распознание обликов, способ главных компонент и анализ кластеров. Кроме того, существует также факторный анализ, однако он появился вследствие развития способа компонент. Все они применяются в определенных обстоятельствах, при наличии определенных условий и факторов.

Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Назначение сервиса . С помощью онлайн-калькулятора можно найти следующие показатели:

уравнение множественной регрессии, матрица парных коэффициентов корреляции, средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии;
множественный коэффициент детерминации, доверительные интервалы для индивидуального и среднего значения результативного признака;

Кроме этого проводится проверка на автокорреляцию остатков и гетероскедастичность .

Инструкция . Укажите количество данных (количество строк), количество переменных x нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример нахождения уравнения множественной регрессии и корреляции). Если данных много, можно вставить их из MS Excel . Для этого укажите количество переменных x нажмите Вставить из Excel ().

При вычислении параметров уравнения множественной регрессии используется матричный метод . Для множественной регрессии с двумя переменными (m = 2), можно воспользоваться методом решения системы уравнений .

Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели, который в свою очередь включает 2 круга вопросов: отбор факторов и выбор уравнения регрессии .

Отбор факторов обычно осуществляется в два этапа:

теоретический анализ взаимосвязи результата и круга факторов, которые оказывают на него существенное влияние;
количественная оценка взаимосвязи факторов с результатом. При линейной форме связи между признаками данный этап сводится к анализу корреляционной матрицы (матрицы парных линейных коэффициентов корреляции). Научно обоснованное решение задач подобного вида также осуществляется с помощью дисперсионного анализа - однофакторного , если проверяется существенность влияния того или иного фактора на рассматриваемый признак, или многофакторного в случае изучения влияния на него комбинации факторов.

Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям:

Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.
Каждый фактор должен быть достаточно тесно связан с результатом (т.е. коэффициент парной линейной корреляции между фактором и результатом должен быть существенным).
Факторы не должны быть сильно коррелированы друг с другом, тем более находиться в строгой функциональной связи (т.е. они не должны быть интеркоррелированы). Разновидностью интеркоррелированности факторов является мультиколлинеарность - тесная линейная связь между факторами.

Пример . Постройте регрессионную модель с 2-мя объясняющими переменными (множественная регрессия). Определите теоретическое уравнение множественной регрессии. Оцените адекватность построенной модели.
Решение .
К исходной матрице X добавим единичный столбец, получив новую матрицу X

Находим обратную матрицу (X T X) -1

13.99	0.64	-1.3
0.64	0.1	-0.0988
-1.3	-0.0988	0.14

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен

(X T X) -1 X T Y = y(x) =

13,99	0,64	-1,3
0,64	0,1	-0,0988
-1,3	-0,0988	0,14

563

1032,5

34,66

1,97

-2,45

Получили оценку уравнения регрессии: Y = 34.66 + 1.97X 1 -2.45X 2
Оценка значимости уравнения множественной регрессии осуществляется путем проверки гипотезы о равенстве нулю коэффициент детерминации рассчитанного по данным генеральной совокупности. Для ее проверки используют

1. Основные определения и формулы

Множественная регрессия - регрессия между переменными и т.е. модель вида:

где - зависимая переменная (результативный признак);

- независимые объясняющие переменные;

Возмущение или стохастическая переменная, включающая влияние неучтенных в модели факторов;

Число параметров при переменных

Основная цель множественной регрессии - построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Уравнение множественной линейной регрессии в случае независимых переменных имеет вид а в случае двух независимых переменных - (двухфакторное уравнение).

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов . Строится система нормальных уравнений:

Решение этой системы позволяет получить оценки параметров регрессии с помощью метода определителей

где - определитель системы;

- частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными правой части системы.

Для двухфакторного уравнения коэффициенты множественной линейной регрессии можно вычислить по формулам:

Частные уравнения регрессии характеризуют изолированное влияние фактора на результат, ибо другие факторы закреплены на неизменном уровне. Эффекты влияния других факторов присоединены в них к свободному члену уравнения множественной регрессии. Это позволяет на основе частных уравнений регрессии определять частные коэффициенты эластичности :

Средние коэффициентами эластичности показывают на сколько процентов в среднем изменится результат при изменении соответствующего фактора на 1%:

Их можно сравнивать друг с другом и соответственно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает коэффиц и ент (индекс) множественной корреляции :

Величина индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции:

Чем ближе значение индекса множественной корреляции к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов.

Сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности (величина индекса множественной корреляции существенно отличается от индекса парной корреляции) включения в уравнение регрессии того или иного фактора.

При линейной зависимости совокупный коэффициент множественной ко р реляции определяется через матрицу парных коэффициентов корреляции:

где - определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;

- определитель матрицы межфакторной корреляции.

Частны е коэффициент ы корреляции характеризуют тесноту линейной зависимости между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов. Если вычисляется, например, (частный коэффициент корреляции между и при фиксированном влиянии ), это означает, что определяется количественная мера линейной зависимости между и которая будет иметь место, если устранить влияние на эти признаки фактора

Частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на фактора при неизменном уровне других факторов, можно определить как:

или по рекуррентной формуле:

Для двухфакторного уравнения:

или

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до +1.

Сравнение значений парного и частного коэффициентов корреляции показывает направление воздействия фиксируемого фактора. Если частный коэффициент корреляции получится меньше, чем соответствующий парныйкоэффициент значит взаимосвязь признаков и в некоторой степени обусловлена воздействием на них фиксируемой переменной И наоборот, большее значение частного коэффициента по сравнению с парным свидетельствует о том, что фиксируемая переменная ослабляет своим воздействием связь и

Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается. Например, - коэффициент частной корреляции первого порядка.

Зная частные коэффициенты корреляции (последовательно первого, второго и более высокого порядка), можно определить совокупный коэффициент мн о жественной корреляции :

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) множественной детерминации , который рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции: Индекс множественной детерминации фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии факторов. Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как

Если число параметров при близко к объему наблюдений, то коэффициент множественной корреляции приблизится к единице даже при слабой связи факторов с результатом. Для того чтобы не допустить возможногопреувеличения тесноты связи, используется скорректированный индекс множественной корреляции , который содержит поправку на число степеней свободы:

Чем больше величина тем сильнее различия и

Значимость частных коэффициентов корреляции проверяется аналогично случаю парных коэффициентов корреляции. Единственным отличием является число степеней свободы, которое следует брать равным =--2.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом , так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью - критерия Фишера :

Мерой для оценки включения фактора в модель служит частный -критерий . В общем виде для фактора частный -критерий определяется как

Для двухфакторного уравнения частные -критерии имеют вид:

Если фактическое значение превышает табличное, то дополнительное включение фактора в модель статистически оправданно и коэффициент чистой регрессии при факторе статистически значим. Если же фактическое значение меньше табличного, то фактор нецелесообразно включать в модель, а коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.

Для оценки значимости коэффициентов чистой регрессии по -критерию Стьюдента используется формула:

где - коэффициент чистой регрессии при факторе

- средняя квадратическая (стандартная) ошибка коэффициента регрессии которая может быть определена по формуле:

При дополнительном включении в регрессию нового фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться. Если это не так, то включаемый в анализ новый фактор не улучшает модель и практически является лишним фактором. Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по -критерию Стьюдента.

При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблема мультиколлинеарности факторов. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться опред е литель матрицы между факторами . Чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И наоборот, чем ближе к 1 определитель, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это означает, что для каждого значения фактора остатки имеют одинаковую дисперсию. Если это условие применения МНК не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность . При нарушении гомоскедастичности выполняются неравенства

Наличие гетероскедастичности можно наглядно видеть из поля корреляции (рис. 9.22).

Рис. 9.22 . Примеры гетероскедастичности:

а) дисперсия остатков растет по мере увеличения

б) дисперсия остатков достигает максимальной величины при средних значениях переменной и уменьшается при минимальных и максимальных значениях

в) максимальная дисперсия остатков при малых значениях и дисперсия остатков однородна по мере увеличения значений

Для проверки выборки на гетероскедастичность можно использовать метод Гольдфельда-Квандта (при малом объеме выборки) или критерий Бартлетта (при большом объеме выборки).

Последовательность применения теста Гольдфельда-Квандта :

1) Упорядочить данные по убыванию той независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность.

2) Исключить из рассмотрения центральных наблюдений. При этом где - число оцениваемых параметров. Из экспериментальных расчетов для случая однофакторного уравнения регрессии рекомендовано при =30 принимать =8, а при =60 соответственно =16.

3) Разделить совокупность из наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора ) и определить по каждой из групп уравнение регрессии.

4) Вычислить остаточную сумму квадратов для первой и второй групп и найти их отношение где При выполнении нулевой гипотезы о гомоскедастичности отношение будет удовлетворять -критерию Фишера со степенями свободы для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина превышает тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

Если необходимо включить в модель факторы, имеющие два или более качественных уровней (пол, профессия, образование, климатические условия, принадлежность к определенному региону и т.д.), то им должны быть присвоены цифровые метки, т.е. качественные переменные преобразованы в количественные. Такого вида сконструированные переменные называют фиктивными (и с кусственными) переменными .

К оэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как среднее изменение зависимой переменной при переходе от одной категории к другой при неизменных значениях остальных параметров. Значимость влияния фиктивной переменной проверяется с помощью -критерия Стьюдента.

2. Решение типовых задач

Пример 9. 2. По 15 предприятиям отрасли (табл. 9.4) изучается зависимость затрат на выпуск продукции (тыс. ден. ед.) от объема произведенной продукции (тыс. ед.) и расходов на сырье (тыс. ден. ед). Необходимо:

1) Построить уравнение множественной линейной регрессии.

2) Вычислить и интерпретировать:

Средние коэффициенты эластичности;

Парные коэффициенты корреляции, оценить их значимость на уровне 0,05;

Частные коэффициенты корреляции;

Коэффициент множественной корреляции, множественный коэффициент детерминации, скорректированный коэффициент детерминации.

3) Оценить надежность построенного уравнения регрессии и целесообразность включения фактора после фактора и после

Таблица 9.4

	x 1	x 2

Решение:

1) В Excel составим вспомогательную таблицу рис. 9.23.

Рис. 9.23 . Расчетная таблица многофакторной регрессии.

С помощью встроенных функций вычислим: =345,5; =13838,89; =8515,78; =219,315; =9,37; =6558,08.

Затем найдем коэффициенты множественной линейной регрессии и оформим вывод результатов как на рис. 9.24.

Рис. 9.24 . Решение задачи в MS Excel

Для вычисления значения коэффициента используем формулы

Формулы для вычисления параметров заносим в ячейки Е 20 , Е 2 1, Е 2 2. Так длявычисления параметра b 1 в Е 20 поместим формулу =(B20*B24-B21*B22)/(B23*B24-B22^2) и получим 29,83. Аналогично получаем значения =0,301 и Коэффициент =-31,25 (рис. 9.25.).

Рис. 9.25 . Вычисление параметров уравнения множественной регрессии (в с т роке формул формула для расчета b 2) .

Уравнение множественной линейной регрессии примет вид:

31,25+29,83+0,301

Таким образом, при увеличении объема произведенной продукции на 1 тыс. ед. затраты на выпуск этой продукции в среднем увеличатся на 29,83 тыс. ден. ед., а при увеличении расходов на сырье на 1 тыс. ден. ед. затраты увеличатся в среднем на 0,301 тыс. ден. ед.

2) Для вычисления средних коэффициентов эластичности воспользуемся формулой: Вычисляем: =0,884 и =0,184. Т.е. увеличение только объема произведенной продукции (от своего среднего значения) или только расходов на сырье на 1% увеличивает в среднем затраты на выпуск продукции на 0,884% или 0,184% соответственно. Таким образом, фактор оказывает большее влияние на результат, чем фактор

Для вычисления парных коэффициентов корреляции воспользуемся функцией «КОРРЕЛ» рис. 9.26.

Рис. 9.26 . Вычисление парных коэффициентов корреляции

Значения парных коэффициентов корреляции указывают на весьма тесную связь с и на тесную связь с В то же время межфакторная связь очень сильная (=0,88>0,7), что говорит о том, что один из факторов является неинформативным, т.е. в модель необходимо включать или или

З начимост ь парных коэффициентов корреляции оценим с помощью -критерия Стьюдента. =2,1604 определяем с помощью встроенной статистической функции СТЬЮДРАСПОБР взяв =0,05 и =-2=13.

Фактическое значение -критерия Стьюдента для каждого парного коэффициента определим по формулам: . Результат расчета представлен на рис. 9.27.

Рис. 9.27 . Результат расчета фактических значений -критерия Стьюдента

Получим =12,278; =7,1896; =6,845.

Так как фактические значения -статистики превосходят табличные, то парные коэффициенты корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Получим =0,81; =0,34; =0,21. Таким образом, фактор оказывает более сильное влияние на результат, чем

При сравнении значений коэффициентов парной и частной корреляции приходим к выводу, что из-за сильной межфакторной связи коэффициенты парной и частной корреляции отличаются довольно значительно.

Коэффициент множественной корреляции

Следовательно, зависимость от и характеризуется как очень тесная, в которой =93% вариации затрат на выпуск продукции определяются вариацией учтенных в модели факторов: объема произведенной продукции и расходов на сырье. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 7% от общей вариации

Скорректированный коэффициент множественной детерминации =0,9182 указывает на тесную связь между результатом и признаками.

Рис. 9.28 . Результаты расчета частных коэффициентов корреляции и коэфф и циента множественной корреляции

3) Оценим надежность уравнения регрессии в целом с помощью -критерия Фишера. Вычислим . =3,8853 определяем взяв =0,05, =2, =15-2-1=12 помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР с такими же параметрами.

Так как фактическое значение больше табличного, то с вероятностью 95% делаем заключение о статистической значимости уравнения множественной линейной регрессии в целом.

Оценим целесообразность включения фактора после фактора и после с помощью частного -критерия Фишера по формулам

; .

Для этого в ячейку B32 заносим формулу для расчета F x 1 «=(B28- H24^2)*(15-3)/(1-B28) », а в ячейку B 33 формулу для расчета F x 2 «=(B28-H23^2)*(15-3)/(1-B28) », результат вычисления F x 1 = 22,4127, F x 2 = 1,5958. Табличное значение критерия Фишера определим с помощью встроенной функции FРАСПОБР с параметрами =0,05, =1, =12 «=FРАСПОБР(0,05; 1 ;12) », результат - =4,747. Так как =22,4127>=4,747, а =1,5958<=4,747, то включение фактора в модель статистически оправдано и коэффициент чистой регрессии статистически значим, а дополнительное включение фактора после того, как уже введен фактор нецелесообразно (рис. 9.29).

Рис. 9.29 . Результаты расчета критерия Фишера

Низкое значение (немногим больше 1) свидетельствует о статистической незначимости прироста за счет включения в модель фактора после фактора Это означает, что парная регрессионная модель зависимости затрат на выпуск продукции от объема произведенной продукции является достаточно статистически значимой, надежной и что нет необходимости улучшать ее, включая дополнительный фактор (расходы на сырье).

3. Дополнительные сведения для решения задач с помощью MS Excel

Сводные данные основных характеристик для одного или нескольких массивов данных можно получить с помощью инструмента анализа данных Опис а тельная статистика . Порядок действий следующий:

1. Необходимо проверить доступ к Пакету анализа . Для этого в ленте выбираем вкладку «Данные», в ней раздел «Анализ» (рис. 9.30.).

Рис. 9.30 . Вкладка данные диалоговое окно «Анализ данных»

2. В диалоговом окне «Анализ данных» выбрать Описательная стат и стика и нажать кнопку «ОК», в появившемся диалоговом окне заполните необходимые поля (рис. 9.31):

Рис. 9.31 . Диалоговое окно ввода параметров инструмента
« Описательная статистика »

Входной интервал - диапазон, содержащий данные результативного и объясняющих признаков;

Группирование - указать, как расположены данные (в столбцах или строках);

Метки - флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа, на который будут выведены результаты.

Для получения информации Итоговой статистики, Уровня наде ж ности, -го наибольшего и наименьшего значений нужно установить соответствующие флажки в диалоговом окне.

Получаем следующую статистику (рис. 2.10).

Наименование переменных и параметров. Учет влияния случайных факторов. В общем виде линейной уравнение множественной регрессии можно записать следующим образом:

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … +a n x n + b + ε,

где y – результативный признак (зависимая, результирующая, эндогенная переменная);

n – число факторов, включенных в модель;

x 1 , x 2 , …, x n – признаки-факторы (регрессоры, объясняющие, предикторные, предопределенные, экзогенные переменные);

a 1 , a 2 , …, a n – коэффициенты регрессии;

b – свободный член регрессии;

ε - компонента, отражающая в модели влияние случайных факторов, из-за которых реальное значение показателя может отклоняться от теоретического (регрессионный остаток).

По своей природе результирующая переменная всегда случайна. Регрессионный остаток позволяет отразить в модели стохастическую, вероятностную природу экономических процессов. Кроме того, можно также сказать, что он отражает все прочие не учтенные в явном виде факторы, которые могут повлиять на результат.

В дальнейшем в этом разделе, рассматривая способы построения уравнения регрессии, случайную компоненту пока не будем учитывать, т.е. будем рассматривать только детерминированную часть результата.

Экономический смысл параметров регрессии. Коэффициенты и свободный член регрессии принято также называть параметрами регрессии, или параметрами модели.

Коэффициенты регрессии a 1 , a 2, … , a n , как видно из записи модели, представляют собой частные производные результата по отдельным признакам-факторам:

(1.11)

Они показывают, на сколько изменяется результативный признак при изменении соответствующего признака на единицу и неизменных значениях остальных признаков (например, в формуле (1.9) коэффициент a показывает, на сколько изменится спрос на продукт при изменении цены на единицу) . Поэтому иногда коэффициент линейной регрессии называют также предельной эффективностью фактора.

Знак коэффициента линейной регрессии всегда совпадает со знаком коэффициента корреляции, так как положительная корреляция означает, что результат растет с ростом фактора, а отрицательная – что с ростом фактора результат убывает.

Однако, сравнение коэффициентов регрессии при различных признаках-факторах между собой представляется затруднительным, поскольку различные факторы обычно имеют разные единицы измерения, характеризуются различными значениями средних и показателями вариации. Чтобы решить эту проблему, рассчитывают стандартизованные коэффициенты регрессии (см. далее). В отличие от стандартизованных коэффициентов регрессии коэффициенты регрессии a 1 , a 2, … , a n принято называть коэффициентами чистой регрессии .

Свободный член регрессии b показывает значение признака-результата при условии, что все признаки-факторы равны нулю. Если такая ситуация невозможна, свободный член может и не иметь экономического содержания.

Частные уравнения регрессии. На основе линейного уравнения множественной регрессии могут быть получены частные уравнения регрессии, в которых все факторы, кроме обычно одного, закреплены на своем среднем уровне. Такое частное уравнение регрессии устанавливает связь между результативным признаком и одним из признаков-факторов при условии, что остальные факторы приравнены к своим средним значениям. Система таких уравнений выглядит следующим образом:

(1.14)

Кроме того, можно построить частные уравнения регрессии и для нескольких независимых переменных, т.е. закрепить на среднем уровне все факторы, кроме нескольких.

На основе частных уравнений регрессии могут быть построены так называемые частные коэффициенты эластичности Э i , которые рассчитываются по формулам и показывают, на сколько процентов изменится результат при изменении фактора x i на 1%. Расчет этих коэффициентов позволяет оценить, какие факторы более сильно воздействуют на результативный признак. Таким образом, их тоже можно использовать при отборе факторов в регрессионную модель.

Стандартизованное уравнение регрессии [Лукин]. Перейдем от переменных модели y, x 1 , x 2 , …, x n к так называемым стандартизованным переменным по следующим формулам:

где - стандартизованные переменные;

α 1 , α 2 , …, α n – стандартизованные коэффициенты регрессии.

Для нахождения стандартизованных коэффициентов используют матрицу парных коэффициентов корреляции (1.6). Можно доказать, что для стандартизованных коэффициентов регрессии выполняется следующая система уравнений:

где α i – стандартизованные коэффициенты регрессии,

Парные коэффициенты корреляции результата с каждым из факторов.

Подставив в стандартизованное уравнение регрессии (1.16) вместо стандартизованных переменных формулы (1.15), можно вернуться к уравнению чистой регрессии.

Парную линейную регрессию еще иногда называют простой регрессией.

Формулы для нелинейных функций приведены для случая, когда имеется один признак-фактор, хотя эти функции можно использовать и в случае множественной регрессии.

Можно показать, что показательная и экспоненциальная функция – одно и то же. Действительно, пусть у = ab x = a(e ln b) x = ae x * ln b = aе bx , где
b = ln b.

Формула (1.17) получена из формулы (1.6) следующим образом: правые части уравнений получены путем перемножения стандартизованных коэффициентов на столбцы матрицы (1.6), начиная со второго столбца и второй строки. В левой части – первая строка матрицы (1.6). Аналогичный результат можно получить, если перемножать коэффициенты на строки, а в левой части оставить первый столбец.

В действительности каждое явление определяется действием не одной причины, а нескольких, даже комплексом причин. Их совместное действие может по-разному сказываться на следствии. «Следствие порождается совокупным действием множества причин. Сложное сочетание причин приводит к различным результатам. Действуя на следствие в одном и том же направлении, они усиливают влияние друг друга. Если часть причин имеет обратное направление в отношении объекта действия, то их совместное действие на следствие ослабляется или даже сводится на нет. Может возникнуть даже такая ситуация, когда вполне определенная, реально действующая причина не имеет явного следствия. Это означает, что наряду с этой причиной действует другая, поглощающая действие первой» . Итак, необходимо исследовать воздействие различных причин, т. е. исследовать зависимость одного явления от ряда других явлений, вызывающих первое.

Совершенно очевидно, что не все причины и факторы, в какой-то степени оказывающие влияние на изучаемое явление, могут быть исследованы. Мы вынуждены ограничиться только существенными причинами.

Экономическое явление детерминируется множеством одновременно и совокупно действующих причин. Поэтому перед нами стоит задача исследования зависимости одной зависимой переменной от нескольких объясняющих переменных в условиях конкретного места и конкретного времени. Эту задачу можно решить с помощью множественного, или многофакторного, регрессионного анализа. При этом снова ограничимся рассмотрением линейного соотношения между зависимой переменной у и объясняющими переменными хт. Мы обсудим также применение регрессионного анализа при нелинейном соотношении между переменными, но только для случая, когда возможна линейная аппроксимация.

Итак, при существовании линейного соотношения между переменными общее выражение уравнения множественной регрессии (2.1) записывается в виде

Объясняющие переменные оказывают совместное одновременное влияние на зависимую переменную у.

Как было сказано, мы не можем охватить весь комплекс причин и учесть случайность, присущую в той или иной степени причинному действию и определяемому им следствию. Поэтому, ограничиваясь наиболее важными объясняющими переменными, в выражение функции регрессии вводим аддитивную составляющую возмущающую переменную и, дающую суммарный эффект от воздействия всех неучтенных факторов и случайностей. Эмпирические значения у можно вследствие этого представить таким образом:

Итак, возмущающая переменная и интерпретируется так же, как и при простой линейной регрессии.

В выражении функции - расчетные значения регрессии. Они указывают средние значения переменной у в точке при фиксированных значениях объясняющих переменных в предположении, что только эти переменных являются причиной изменения переменной у. Значения у представляют собой оценки средних значений у для фиксированных значений переменных в точке

Коэффициенты - параметры регрессии (2.42). Постоянная регрессия снова выполняет в уравнении регрессии функцию выравнивания. Она определяет точку пересечения гиперповерхности регрессии с осью ординат.

Значения представляют собой оценки коэффициентов регрессии. Индекс при коэффициенте соответствует индексу объясняющей переменной. Так, указывает среднюю величину изменения у при изменении на одну единицу при условии, что другие переменные остаются без изменения; показывает, на сколько единиц в среднем изменится у, если бы переменная изменилась на единицу при условии, что переменные остались бы без изменения, и т. д. В то время как регрессия (2.42) охватывает совокупное одновременное влияние объясняющих переменных, коэффициенты регрессии указывают соответствующие усредненные частные влияния переменных в предположении, что остальные объясняющие переменные сохраняются на постоянном уровне. С точки зрения статистической методологии, таким образом, нет различия между множественной и частной регрессией. (На этом мы еще остановимся подробнее в следующем разделе.) По этой причине в литературе параметры называются как коэффициентами множественной, так и частной регрессии.

Такая содержательная интерпретация коэффициентов регрессии могла бы привести к ошибочному заключению, что достаточно определить несколько простых линейных регрессий переменной у по отдельным переменным Но, как мы уже упоминали ранее и в чем мы еще убедимся на примере, множественная регрессия хотя и охватывает одновременное действие объясняющих переменных, коэффициент регрессии исключает влияние остальных объясняющих переменных,

В случае простой линейной регрессии дело обстоит иначе. При простой линейной регрессии влияние прочих объясняющих переменных частично отражается в коэффициенте регрессии, что можно объяснить часто существующей двусторонней зависимостью объясняющих переменных. Итак, если располагают достаточной информацией и эмпирическим числовым материалом по нескольким причинам-факторам для переменной у, то целесообразнее и теоретически обоснованнее строить множественную регрессию. В разделе 2.5 мы уже указывали, что из-за рассеяния значений отдельных переменных функция регрессии необратима даже тогда, когда это оправдано логически и обосновано профессиональными соображениями. Необратимость характерна также для множественной регрессии. Если интересуются не только зависимостью переменной у от но также зависимостью переменной от у и то следует определить другую функцию (регрессию х на у и Теоретически существует сопряженных, или альтернативных, регрессий. Уже здесь мы обращаем внимание на то, что многосторонняя зависимость между переменными у и нарушает существенные предпосылки применения метода наименьших квадратов. Подробно речь об этом пойдем в главе 12.

Процедуру построения множественной регрессии рассмотрим на примере регрессии с двумя объясняющими переменными. Функция линейной множественной регрессии в этом случае записывается в виде

Задача состоит в оценке параметров регрессии по результатам выборочных наблюдений над переменными, включенными в анализ. Для этой цели снова применяем метод наименьших квадратов. Поставим условие, согласно которому регрессия должна по возможности хорошо согласовываться с Эмпирическими данными. Поэтому по тем же соображениям, что и в разделе 2.4, выдвинем требование, по которому сумма квадратов отклонений всех наблюдаемых значений зависимой переменной от значений, вычисленных по уравнению регрессии (т. е. сумма квадратов остатков), должна быть минимальна. Итак, должно выполняться требование

Подставляя вместо выражение (2.43), получим

Так же, как в разделе 2.4, 5 является функцией от неизвестных параметров регрессии. Необходимым условием выполнения (2.45) служит обращение в нульгчастных производных функции по каждому из параметров После соответствующих алгебраических

выкладок получаем следующую систему нормальных уравнений:

Если мы сравним эти уравнения с нормальными уравнениями простой линейной регрессии, то увидим большое сходство. Они отличаются лишь слагаемым, учитывающим новую переменную Следовательно, включение в анализ новых переменных не представляет больших трудностей.

Разделив обе части уравнения (2.46) на получим следующее выражение для постоянной регрессии

Подставляя (2.49) в (2.43), после некоторых простых преобразований получим выражение, аналогичное (2.25):

Решая систему нормальных уравнений относительно неизвестных параметров, получим

По аналогии с формулой (2.27) для простой регрессии можно коэффициенты множественной или частной регрессии представить через дисперсии и ковариации.

Разделив вначале обе части нормального уравнения (2.46) на и умножив их на вычтем их соответственно из левой и правой частей уравнения (2.47). В результате получим

Затем умножим обе части нормального уравнения (2.46) на предварительно поделенные на и вычтем их соответственно из левой и правой частей уравнения (2.48). В результате получим

Оба равенства мы можем представить следующим образом:

Разделив обе части равенств (2.53) и (2.54) на найдем, с учетом определений дисперсии и ковариации, выражения коэффициентов регрессии:

Используя данные примера из раздела 2.4, дополним их результатами наблюдений над второй объясняющей переменной - средним возрастом работников. Переменную х, использованную в примере раздела 2.4, обозначим теперь . В табл. 7 приведены значения, которые принимает переменная а также промежуточные результаты вычислений, необходимые для нахождения оценок коэффициентов регрессии.

Таблица 7. Средний возраст работников, средний процент выполнения нормы на 14 предприятиях и промежуточные результаты, необходимые для нахождения оценок параметров регрессии (см. скан)

Среднее значение переменной

Используя промежуточные результаты из табл. 3 и 7, по формулам (2.51) и (2.52) вычисляем коэффициенты регрессии:

Постоянную регрессии получаем по формуле (2.49):

Итак, в соответствии с формулой функции регрессии (2.43) уравнение регрессии можно записать в виде

Если рассматривать зависимость производительности одновременно от уровня механизации работ и от среднего возраста работников, то производительность труда в среднем изменится на при условии, что уровень механизации работ изменится на один процент при исключении влияния среднего возраста работников. Если исключить влияние уровня механизации работ, то производительность труда в среднем изменится на при изменении среднего возраста работников на один год.

По сравнению с коэффициентом регрессии в уравнении с одной объясняющей переменной частный коэффициент регрессии несколько уменьшился. Это объясняется тем, что переменная коррелирует с в чем мы еще убедимся с помощью количественного показателя. По этой причине переменная влияет на переменную у через вследствие чего ослабевает сила зависимости у от Наличие зависимости среди объясняющих переменных нарушает одно из основных предположений линейной модели регрессионного анализа, что влечет за собой особые проблемы. Более подробно эти проблемы мы обсудим в главе 9.

Подставляя последовательно значения переменных в полученное уравнение, найдем расчетные значения регрессии. Вычитая их из наблюдаемых значений переменной у, получим остатки:

По величине этих остатков можно сделать вывод, аналогичный выводу, сделанному в разделе 2.4 для простой линейной регрессии.

Сравнивая формулы (2.51) и (2.52) с (2.22) и (2.23), а также процедуры расчета, убеждаемся, что включение в регрессию новых объясняющих переменных усложняет аналитические выражения формул, а вместе с этим и вычисления. Обобщение модели множественной регрессии на объясняющих переменных требует использования матричных обозначений и владения техникой матричной алгебры. Кроме того, это необходимо для компактности изложения и применения некоторых стандартных вычислительных процедур, значительно облегчающих и ускоряющих проведение анализа }