Как в экселе сделать корреляционный анализ. Пример вычисления корреляции, построения линейной регрессии и проверки гипотезы зависимости двух СВ нашим сервисом
Количественная характеристика взаимосвязи может быть получена при вычислении коэффициента корреляции.
Корреляционный анализ в Excel
Сама функция имеет общий вид КОРРЕЛ(массив1;массив2). В поле «Массив1» вводим координаты диапазона ячеек одного из значений, зависимость которого следует определить. Как видим, коэффициент корреляции в виде числа появляется в заранее выбранной нами ячейке. Открывается окно с параметрами корреляционного анализа. В отличие от предыдущего способа, в поле «Входной интервал» мы вводим интервал не каждого столбца отдельно, а всех столбцов, которые участвуют в анализе. Как видим, приложение Эксель предлагает сразу два способа корреляционного анализа.
График корреляции в excel
6) В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Поэтому гипотеза Н0 отклоняется, то есть параметры регрессии и коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы. 7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.
Как рассчитать коэффициент корреляции в Excel
Если коэффициент равен 0, это говорит о том, что взаимосвязь между значениями отсутствует. Чтобы найти взаимосвязь между переменными и у, воспользуйтесь встроенной функцией Microsoft Excel «КОРРЕЛ». Например, для «Массив1» выделите значения у, а для «Массив2» выделите значения х. В итоге вы получите рассчитанный программой коэффициент корреляции. Далее необходимо вычислить разницу между каждым x и xср, и yср. В выбранных ячейках напишите формулы x-x, y-. Не забудьте закрепить ячейки со средними значениями. Полученный результат и будет искомым коэффициентом корреляции.
Приведенная выше формула расчета коэффициента Пирсона, показывает насколько трудоемок этот процесс если выполнять его вручную. Второе, порекомендуйте, пожалуйста, какой вид корреляционного анализа можно использовать для разных выборок с большим разбросом данных? Как мне статистически доказать достоверность отличий между группой старше 60 лет и всеми остальными?
Сделай сам: вычисление корреляций валют с использованием Excel
Мы, к примеру, используем Microsoft Excel, но подойдёт и любая другая программа, в которой можно использовать корреляционную формулу. 7.После этого выделите ячейки с данными по EUR/USD. 9.Нажмите Enter для того, чтобы высчитать коэффициент корреляции для EUR/USD и USD/JPY. Обновлять цифры каждый день не стоит (ну, разве что вы одержимы корреляциями валюты).
Вы уже сталкивались с необходимостью рассчитать степень связи двух статистических величин и определить формулу, по которой они коррелируют? Для этого я воспользовался функцией CORREL (КОРРЕЛ) — о ней есть немного информации здесь. Она возвращает степень корреляции двух диапазонов данных. Теоретически, функцию корреляции можно уточнить, если перевести ее из линейной в экспоненциальную или логарифмическую. Анализ данных и графиков корреляции позволяет улучшить ее достоверность очень существенно.
Предположим, в ячейке В2 находится сам коэффициент корреляции, в ячейке В3 — количество полных наблюдений. У Вас русскоязычный офис?Кстати, нашел и ошибку — значимость не вычисляется для отрицательных корреляций. Если обе переменные метрические и имеют нормальное распределение, то выбор сделан правильно. И, можно ли, характеризовать критерий схожести кривых лишь по одному КК?У Вас не схожесть «кривых», а схожесть двух рядов, которая в принципе может описываться кривой.
Коэффициент корреляции (или линейный коэффициент корреляции) обозначается как «r» (в редких случаях как «ρ») и характеризует линейную корреляцию (то есть взаимосвязь, которая задается некоторым значением и направлением) двух или более переменных. Значение коэффициента лежит между -1 и +1, то есть корреляция бывает как положительной, так и отрицательной. Если коэффициент корреляции равен -1, имеет место идеальная отрицательная корреляция; если коэффициент корреляции равен +1, имеет место идеальная положительная корреляция. В остальных случаях между двумя переменными наблюдается положительная корреляция, отрицательная корреляция или отсутствие корреляции. Коэффициент корреляции можно вычислить вручную, с помощью бесплатных онлайн-калькуляторов или с помощью хорошего графического калькулятора.
Шаги
Вычисление коэффициента корреляции вручную
- Например, даны четыре пары значений (чисел) переменных «х» и «у». Можно создать следующую таблицу:
- x || y
- 1 || 1
- 2 || 3
- 4 || 5
- 5 || 7
-
Вычислите среднее арифметическое «х». Для этого сложите все значения «х», а затем полученный результат разделите на количество значений.
- В нашем примере даны четыре значения переменной «х». Чтобы вычислить среднее арифметическое «х», сложите эти значения, а затем сумму разделите на 4. Вычисления запишутся так:
- μ x = (1 + 2 + 4 + 5) / 4 {\displaystyle \mu _{x}=(1+2+4+5)/4}
- μ x = 12 / 4 {\displaystyle \mu _{x}=12/4}
- μ x = 3 {\displaystyle \mu _{x}=3}
-
Найдите среднее арифметическое «у». Для этого выполните аналогичные действия, то есть сложите все значения «у», а затем сумму разделите на количество значений.
- В нашем примере даны четыре значения переменной «у». Сложите эти значения, а затем сумму разделите на 4. Вычисления запишутся так:
- μ y = (1 + 3 + 5 + 7) / 4 {\displaystyle \mu _{y}=(1+3+5+7)/4}
- μ y = 16 / 4 {\displaystyle \mu _{y}=16/4}
- μ y = 4 {\displaystyle \mu _{y}=4}
-
Вычислите стандартное отклонение «х». Вычислив средние значения «х» и «у», найдите стандартные отклонения этих переменных. Стандартное отклонение вычисляется по следующей формуле:
- σ x = 1 n − 1 Σ (x − μ x) 2 {\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\Sigma (x-\mu _{x})^{2}}}}
- σ x = 1 4 − 1 ∗ ((1 − 3) 2 + (2 − 3) 2 + (4 − 3) 2 + (5 − 3) 2) {\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {{\frac {1}{4-1}}*((1-3)^{2}+(2-3)^{2}+(4-3)^{2}+(5-3)^{2})}}}
- σ x = 1 3 ∗ (4 + 1 + 1 + 4) {\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {{\frac {1}{3}}*(4+1+1+4)}}}
- σ x = 1 3 ∗ (10) {\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {{\frac {1}{3}}*(10)}}}
- σ x = 10 3 {\displaystyle \sigma _{x}={\sqrt {\frac {10}{3}}}}
- σ x = 1 , 83 {\displaystyle \sigma _{x}=1,83}
-
Вычислите стандартное отклонение «у». Выполните действия, которые описаны в предыдущем шаге. Воспользуйтесь той же формулой, но подставьте в нее значения «у».
- В нашем примере вычисления запишутся так:
- σ y = 1 4 − 1 ∗ ((1 − 4) 2 + (3 − 4) 2 + (5 − 4) 2 + (7 − 4) 2) {\displaystyle \sigma _{y}={\sqrt {{\frac {1}{4-1}}*((1-4)^{2}+(3-4)^{2}+(5-4)^{2}+(7-4)^{2})}}}
- σ y = 1 3 ∗ (9 + 1 + 1 + 9) {\displaystyle \sigma _{y}={\sqrt {{\frac {1}{3}}*(9+1+1+9)}}}
- σ y = 1 3 ∗ (20) {\displaystyle \sigma _{y}={\sqrt {{\frac {1}{3}}*(20)}}}
- σ y = 20 3 {\displaystyle \sigma _{y}={\sqrt {\frac {20}{3}}}}
- σ y = 2 , 58 {\displaystyle \sigma _{y}=2,58}
-
Запишите основную формулу для вычисления коэффициента корреляции. В эту формулу входят средние значения, стандартные отклонения и количество (n) пар чисел обеих переменных. Коэффициент корреляции обозначается как «r» (в редких случаях как «ρ»). В этой статье используется формула для вычисления коэффициента корреляции Пирсона.
- Здесь и в других источниках величины могут обозначаться по-разному. Например, в некоторых формулах присутствуют «ρ» и «σ», а в других «r» и «s». В некоторых учебниках приводятся другие формулы, но они являются математическими аналогами приведенной выше формулы.
-
Вы вычислили средние значения и стандартные отклонения обеих переменных, поэтому можно воспользоваться формулой для вычисления коэффициента корреляции. Напомним, что «n» – это количество пар значений обеих переменных. Значение других величин были вычислены ранее.
- В нашем примере вычисления запишутся так:
- ρ = (1 n − 1) Σ (x − μ x σ x) ∗ (y − μ y σ y) {\displaystyle \rho =\left({\frac {1}{n-1}}\right)\Sigma \left({\frac {x-\mu _{x}}{\sigma _{x}}}\right)*\left({\frac {y-\mu _{y}}{\sigma _{y}}}\right)}
- ρ = (1 3) ∗ {\displaystyle \rho =\left({\frac {1}{3}}\right)*}
[
(1 − 3 1 , 83) ∗ (1 − 4 2 , 58) + (2 − 3 1 , 83) ∗ (3 − 4 2 , 58) {\displaystyle \left({\frac {1-3}{1,83}}\right)*\left({\frac {1-4}{2,58}}\right)+\left({\frac {2-3}{1,83}}\right)*\left({\frac {3-4}{2,58}}\right)}
+ (4 − 3 1 , 83) ∗ (5 − 4 2 , 58) + (5 − 3 1 , 83) ∗ (7 − 4 2 , 58) {\displaystyle +\left({\frac {4-3}{1,83}}\right)*\left({\frac {5-4}{2,58}}\right)+\left({\frac {5-3}{1,83}}\right)*\left({\frac {7-4}{2,58}}\right)} ] - ρ = (1 3) ∗ (6 + 1 + 1 + 6 4 , 721) {\displaystyle \rho =\left({\frac {1}{3}}\right)*\left({\frac {6+1+1+6}{4,721}}\right)}
- ρ = (1 3) ∗ 2 , 965 {\displaystyle \rho =\left({\frac {1}{3}}\right)*2,965}
- ρ = (2 , 965 3) {\displaystyle \rho =\left({\frac {2,965}{3}}\right)}
- ρ = 0 , 988 {\displaystyle \rho =0,988}
-
Проанализируйте полученный результат. В нашем примере коэффициент корреляции равен 0,988. Это значение некоторым образом характеризует данный набор пар чисел. Обратите внимание на знак и величину значения.
- Так как значение коэффициента корреляции положительно, между переменными «х» и «у» имеет место положительная корреляция. То есть при увеличении значения «х», значение «у» тоже увеличивается.
- Так как значение коэффициента корреляции очень близко к +1, значения переменных «х» и «у» сильно взаимосвязаны. Если нанести точки на координатную плоскость, они расположатся близко к некоторой прямой.
Использование онлайн-калькуляторов для вычисления коэффициента корреляции
-
В интернете найдите калькулятор для вычисления коэффициента корреляции. Этот коэффициент довольно часто вычисляется в статистике. Если пар чисел много, вычислить коэффициент корреляции вручную практически невозможно. Поэтому существуют онлайн-калькуляторы для вычисления коэффициента корреляции. В поисковике введите «коэффициент корреляции калькулятор» (без кавычек).
-
Введите данные. Ознакомьтесь с инструкциями на сайте, чтобы правильно ввести данные (пары чисел). Крайне важно вводить соответствующие пары чисел; в противном случае вы получите неверный результат. Помните, что на разных веб-сайтах различные форматы ввода данных.
- Например, на сайте http://ncalculators.com/statistics/correlation-coefficient-calculator.htm значения переменных «х» и «у» вводятся в двух горизонтальных строках. Значения разделяются запятыми. То есть в нашем примере значения «х» вводятся так: 1,2,4,5, а значения «у» так: 1,3,5,7.
- На другом сайте, http://www.alcula.com/calculators/statistics/correlation-coefficient/ , данные вводятся по вертикали; в этом случае не перепутайте соответствующие пары чисел.
-
Вычислите коэффициент корреляции. Введя данные, просто нажмите на кнопку «Calculate», «Вычислить» или аналогичную, чтобы получить результат.
Использование графического калькулятора
-
Введите данные. Возьмите графический калькулятор, перейдите в режим статистических вычислений и выберите команду «Edit» (Редактировать).
- На разных калькуляторах нужно нажимать различные клавиши. В этой статье рассматривается калькулятор Texas Instruments TI-86.
- Чтобы перейти в режим статистических вычислений, нажмите – Stat (над клавишей «+»). Затем нажмите F2 – Edit (Редактировать).
-
Удалите предыдущие сохраненные данные. В большинстве калькуляторов введенные статистические данные хранятся до тех пор, пока вы не сотрете их. Чтобы не спутать старые данные с новыми, сначала удалите любую сохраненную информацию.
- С помощью клавиш со стрелками переместите курсор и выделите заголовок «xStat». Затем нажмите Clear (Очистить) и Enter (Ввести), чтобы удалить все значения, введенные в столбец xStat.
- С помощью клавиш со стрелками выделите заголовок «yStat». Затем нажмите Clear (Очистить) и Enter (Ввести), чтобы удалить все значения, введенные в столбец уStat.
-
Введите исходные данные. С помощью клавиш со стрелками переместите курсор в первую ячейку под заголовком «xStat». Введите первое значение и нажмите Enter. В нижней части экрана отобразится «xStat (1) = __», где вместо пробела будет стоять введенное значение. После того как вы нажмете Enter, введенное значение появится в таблице, а курсор переместится на следующую строку; при этом в нижней части экрана отобразится «xStat (2) = __».
- Введите все значения переменной «х».
- Введя все значения переменной «х», с помощью клавиш со стрелками перейдите в столбец yStat и введите значения переменной «у».
- После ввода всех пар чисел нажмите Exit (Выйти), чтобы очистить экран и выйти из режима статистических вычислений.
-
Вычислите коэффициент корреляции. Он характеризует, насколько близко данные расположены к некоторой прямой. Графический калькулятор может быстро определить подходящую прямую и вычислить коэффициент корреляции.
- Нажмите Stat (Статистика) – Calc (Вычисления). На TI-86 нужно нажать – – .
- Выберите функцию «Linear Regression» (Линейная регрессия). На TI-86 нажмите , которая обозначена как «LinR». На экране отобразится строка «LinR _» с мигающим курсором.
- Теперь введите имена двух переменных: xStat и yStat.
- На TI-86 откройте список имен; для этого нажмите – – .
- В нижней строке экрана отобразятся доступные переменные. Выберите (для этого, скорее всего, нужно нажать F1 или F2), введите запятую, а затем выберите .
- Нажмите Enter, чтобы обработать введенные данные.
-
Проанализируйте полученные результаты. Нажав Enter, на экране отобразится следующая информация:
- y = a + b x {\displaystyle y=a+bx} : это функция, которая описывает прямую. Обратите внимание, что функция записана не в стандартной форме (у = kх + b).
- a = {\displaystyle a=} . Это координата «у» точки пересечения прямой с осью Y.
- b = {\displaystyle b=} . Это угловой коэффициент прямой.
- corr = {\displaystyle {\text{corr}}=} . Это коэффициент корреляции.
- n = {\displaystyle n=} . Это количество пар чисел, которое было использовано в вычислениях.
-
Соберите данные. Перед тем как приступить к вычислению коэффициента корреляции, изучите данные пары чисел. Лучше записать их в таблицу, которую можно расположить вертикально или горизонтально. Каждую строку или столбец обозначьте как «х» и «у».
Критерий корреляции Пирсона – это метод параметрической статистики, позволяющий определить наличие или отсутствие линейной связи между двумя количественными показателями, а также оценить ее тесноту и статистическую значимость. Другими словами, критерий корреляции Пирсона позволяет определить, есть ли линейная связь между изменениями значений двух переменных. В статистических расчетах и выводах коэффициент корреляции обычно обозначается как r xy или R xy .
1. История разработки критерия корреляции
Критерий корреляции Пирсона был разработан командой британских ученых во главе с Карлом Пирсоном (1857-1936) в 90-х годах 19-го века, для упрощения анализа ковариации двух случайных величин. Помимо Карла Пирсона над критерием корреляции Пирсона работали также Фрэнсис Эджуорт и Рафаэль Уэлдон .
2. Для чего используется критерий корреляции Пирсона?
Критерий корреляции Пирсона позволяет определить, какова теснота (или сила) корреляционной связи между двумя показателями, измеренными в количественной шкале. При помощи дополнительных расчетов можно также определить, насколько статистически значима выявленная связь.
Например, при помощи критерия корреляции Пирсона можно ответить на вопрос о наличии связи между температурой тела и содержанием лейкоцитов в крови при острых респираторных инфекциях, между ростом и весом пациента, между содержанием в питьевой воде фтора и заболеваемостью населения кариесом.
3. Условия и ограничения применения критерия хи-квадрат Пирсона
- Сопоставляемые показатели должны быть измерены в количественной шкале (например, частота сердечных сокращений, температура тела, содержание лейкоцитов в 1 мл крови, систолическое артериальное давление).
- Посредством критерия корреляции Пирсона можно определить лишь наличие и силу линейной взаимосвязи между величинами. Прочие характеристики связи, в том числе направление (прямая или обратная), характер изменений (прямолинейный или криволинейный), а также наличие зависимости одной переменной от другой - определяются при помощи регрессионного анализа .
- Количество сопоставляемых величин должно быть равно двум. В случае анализ взаимосвязи трех и более параметров следует воспользоваться методом факторного анализа .
- Критерий корреляции Пирсона является параметрическим , в связи с чем условием его применения служит нормальное распределение сопоставляемых переменных. В случае необходимости корреляционного анализа показателей, распределение которых отличается от нормального, в том числе измеренных в порядковой шкале, следует использовать коэффициент ранговой корреляции Спирмена .
- Следует четко различать понятия зависимости и корреляции. Зависимость величин обуславливает наличие корреляционной связи между ними, но не наоборот.
Например, рост ребенка зависит от его возраста, то есть чем старше ребенок, тем он выше. Если мы возьмем двух детей разного возраста, то с высокой долей вероятности рост старшего ребенка будет больше, чем у младшего. Данное явление и называется зависимостью , подразумевающей причинно-следственную связь между показателями. Разумеется, между ними имеется и корреляционная связь , означающая, что изменения одного показателя сопровождаются изменениями другого показателя.
В другой ситуации рассмотрим связь роста ребенка и частоты сердечных сокращений (ЧСС). Как известно, обе эти величины напрямую зависят от возраста, поэтому в большинстве случаев дети большего роста (а значит и более старшего возраста) будут иметь меньшие значения ЧСС. То есть, корреляционная связь будет наблюдаться и может иметь достаточно высокую тесноту. Однако, если мы возьмем детей одного возраста , но разного роста , то, скорее всего, ЧСС у них будет различаться несущественно, в связи с чем можно сделать вывод о независимости ЧСС от роста.
Приведенный пример показывает, как важно различать фундаментальные в статистике понятия связи и зависимости показателей для построения верных выводов.
4. Как рассчитать коэффициента корреляции Пирсона?
Расчет коэффициента корреляции Пирсона производится по следующей формуле:
5. Как интерпретировать значение коэффициента корреляции Пирсона?
Значения коэффициента корреляции Пирсона интерпретируются исходя из его абсолютных значений. Возможные значения коэффициента корреляции варьируют от 0 до ±1. Чем больше абсолютное значение r xy – тем выше теснота связи между двумя величинами. r xy = 0 говорит о полном отсутствии связи. r xy = 1 – свидетельствует о наличии абсолютной (функциональной) связи. Если значение критерия корреляции Пирсона оказалось больше 1 или меньше -1 – в расчетах допущена ошибка.
Для оценки тесноты, или силы, корреляционной связи обычно используют общепринятые критерии, согласно которым абсолютные значения r xy < 0.3 свидетельствуют о слабой связи, значения r xy от 0.3 до 0.7 - о связи средней тесноты, значения r xy > 0.7 - о сильной связи.
Более точную оценку силы корреляционной связи можно получить, если воспользоваться таблицей Чеддока :
Оценка статистической значимости коэффициента корреляции r xy осуществляется при помощи t-критерия, рассчитываемого по следующей формуле:
Полученное значение t r сравнивается с критическим значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы n-2. Если t r превышает t крит, то делается вывод о статистической значимости выявленной корреляционной связи.
6. Пример расчета коэффициента корреляции Пирсона
Целью исследования явилось выявление, определение тесноты и статистической значимости корреляционной связи между двумя количественными показателями: уровнем тестостерона в крови (X) и процентом мышечной массы в теле (Y). Исходные данные для выборки, состоящей из 5 исследуемых (n = 5), сведены в таблице.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ В EXCEL
1.1 Корреляционный анализ в MS Excel
Корреляционный анализ состоит в определении степени связи между двумя случайными величинами X и Y. В качестве меры такой связи используется коэффициент корреляции. Коэффициент корреляции оценивается по выборке объема п связанных пар наблюдений (x i , y i) из совместной генеральной совокупности X и Y. Для оценки степени взаимосвязи величин X и Y, измеренных в количественных шкалах, используетсякоэффициент линейной корреляции (коэффициент Пирсона), предполагающий, что выборки X и Y распределены по нормальному закону.
Коэффициент корреляции изменяется от -1 (строгая обратная линейная зависимость) до 1 (строгая прямая пропорциональная зависимость). При значении 0 линейной зависимости между двумя выборками нет.
Общая классификация корреляционных связей (по Ивантер Э.В., Коросову А.В., 1992):
Существует несколько типов коэффициентов корреляции, что зависит от переменных Х иY, которые могут быть измерены в разных шкалах. Именно этот факт и определяет выбор соответствующего коэффициента корреляции (см. табл. 13):
В MS Excel для вычисления парных коэффициентов линейной корреляции используется специальная функция КОРРЕЛ (массив1; массив2),
|
№ испытуемых | ||
Пример 1: 10 школьникам были даны тесты на наглядно-образное и вербальное мышление. Измерялось среднее время решения заданий теста в секундах. Исследователя интересует вопрос: существует ли взаимосвязь между временем решения этих задач? Переменная X - обозначает среднее время решения наглядно-образных, а переменная Y- среднее время решения вербальных заданий тестов.
Р
ешение:
Для выявления степени взаимосвязи,
прежде всего, необходимо ввести данные
в таблицу MS Excel (см. табл., рис. 1). Затем
вычисляется значение коэффициента
корреляции. Для этого курсор установите
в ячейку C1. На панели инструментов
нажмите кнопку Вставка функции (fx).
В появившемся диалоговом окне Мастер функций выберите категорию Статистические и функциюКОРРЕЛ , после чего нажмите кнопку ОК. Указателем мыши введите диапазон данных выборки Х в поле массив1 (А1:А10). В поле массив2 введите диапазон данных выборки У (В1:В10). Нажмите кнопку ОК. В ячейке С1 появится значение коэффициента корреляции - 0,54119. Далее необходимо посмотреть на абсолютное число коэффициента корреляции и определить тип связи (тесная, слабая, средняя и т.д.)
Рис. 1. Результаты вычисления коэффициента корреляции
Таким образом, связь между временем решения наглядно-образных и вербальных заданий теста не доказана.
Задание 1. Имеются данные по 20 сельскохозяйственным хозяйствам. Найтикоэффициент корреляции между величинами урожайности зерновых культур и качеством земли и оценить его значимость. Данные приведены в таблице.
Таблица 2. Зависимость урожайности зерновых культур от качества земли
|
Номер хозяйства |
Качество земли, балл |
Урожайность, ц/га |
Задание 2. Определите, имеется ли связь между временем работы спортивного тренажера для фитнеса (тыс. часов) и стоимость его ремонта (тыс. руб.):
|
Время работа тренажера (тыс. часов) |
Стоимость ремонта (тыс. руб.) |
1.2 Множественная корреляция в MS Excel
При большом числе наблюдений, когда коэффициенты корреляции необходимо последовательно вычислять для нескольких выборок, для удобства получаемые коэффициенты сводят в таблицы, называемые корреляционными матрицами .
Корреляционная матрица - это квадратная таблица, в которой на пересечении соответствующих строк и столбцов находятся коэффициент корреляции между соответствующими параметрами.
В MS Excel для вычисления корреляционных матриц используется процедура Корреляция из пакета Анализ данных. Процедура позволяет получить корреляционную матрицу, содержащую коэффициенты корреляции между различными параметрами.
Для реализации процедуры необходимо:
1. выполнить команду Сервис - Анализ данных ;
2. в появившемся списке Инструменты анализа выбрать строку Корреляция и нажать кнопку ОК ;
3. в появившемся диалоговом окне указать Входной интервал , то есть ввести ссылку на ячейки, содержащие анализируемые данные. Входной интервал должен содержать не менее двух столбцов.
4. в разделе Группировка переключатель установить в соответствии с введенными данными (по столбцам или по строкам);
5. указать выходной интервал , то есть ввести ссылку на ячейку, начиная с которой будут показаны результаты анализа. Размер выходного диапазона будет определен автоматически, и на экран будет выведено сообщение в случае возможного наложения выходного диапазона на исходные данные. Нажать кнопку ОК .
В выходной диапазон будет выведена корреляционная матрица, в которой на пересечении каждых строки и столбца находится коэффициент корреляции между соответствующими параметрами. Ячейки выходного диапазона, имеющие совпадающие координаты строк и столбцов, содержат значение 1, так как каждый столбец во входном диапазоне полностью коррелирует сам с собой
Пример 2. Имеются ежемесячные данные наблюдений за состоянием погоды и посещаемостью музеев и парков (см. табл. 3). Необходимо определить, существует ли взаимосвязь между состоянием погоды и посещаемостью музеев и парков.
Таблица 3. Результаты наблюдений
|
Число ясных дней |
Количество посетителей музея |
Количество посетителей парка |
Решение . Для выполнения корреляционного анализа введите в диапазон A1:G3 исходные данные (рис. 2). Затем в меню Сервис выберите пункт Анализ данных и далее укажите строку Корреляция . В появившемся диалоговом окне укажите Входной интервал (А2:С7). Укажите, что данные рассматриваются по столбцам. Укажите выходной диапазон (Е1) и нажмите кнопку ОК .
На рис. 33 видно, что корреляция между состоянием погоды и посещаемостью музея равна -0,92, а между состоянием погоды и посещаемостью парка - 0,97, между посещаемостью парка и музея - 0,92.
Таким образом, в результате анализа выявлены зависимости: сильная степень обратной линейной взаимосвязи между посещаемостью музея и количеством солнечных дней и практически линейная (очень сильная прямая) связь между посещаемостью парка и состоянием погоды. Между посещаемостью музея и парка имеется сильная обратная взаимосвязь.
Рис. 2. Результаты вычисления корреляционной матрицы из примера 2
Задание 3 . 10 менеджеров оценивались по методике экспертных оценок психологических характеристик личности руководителя. 15 экспертов производили оценку каждой психологической характеристики по пятибальной системе (см. табл. 4). Психолога интересует вопрос, в какой взаимосвязи находятся эти характеристики руководителя между собой.
Таблица 4. Результаты исследования
|
Испытуемые п/п |
тактичность |
требовательность |
критичность |
Задача:
Имеется связанная выборка из 26 пар значений (х k
,y k
):
| k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x k | 25.20000 | 26.40000 | 26.00000 | 25.80000 | 24.90000 | 25.70000 | 25.70000 | 25.70000 | 26.10000 | 25.80000 |
| y k | 30.80000 | 29.40000 | 30.20000 | 30.50000 | 31.40000 | 30.30000 | 30.40000 | 30.50000 | 29.90000 | 30.40000 |
| k | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| x k | 25.90000 | 26.20000 | 25.60000 | 25.40000 | 26.60000 | 26.20000 | 26.00000 | 22.10000 | 25.90000 | 25.80000 |
| y k | 30.30000 | 30.50000 | 30.60000 | 31.00000 | 29.60000 | 30.40000 | 30.70000 | 31.60000 | 30.50000 | 30.60000 |
| k | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |
| x k | 25.90000 | 26.30000 | 26.10000 | 26.00000 | 26.40000 | 25.80000 |
| y k | 30.70000 | 30.10000 | 30.60000 | 30.50000 | 30.70000 | 30.80000 |
Требуется вычислить/построить:
- коэффициент корреляции;
- проверить гипотезу зависимости случайных величин X и Y, при уровне значимости α
= 0.05 ;
- коэффициенты уравнения линейной регрессии;
- диаграмму рассеяния (корреляционное поле) и график линии регрессии;
РЕШЕНИЕ:
1. Вычисляем коэффициент корреляции.
Коэффициент корреляции - это показатель взаимного вероятностного влияния двух случайных величин. Коэффициент корреляции R может принимать значения от -1 до +1 . Если абсолютное значение находится ближе к 1 , то это свидетельство сильной связи между величинами, а если ближе к 0 - то, это говорит о слабой связи или ее отсутствии. Если абсолютное значение R равно единице, то можно говорить о функциональной связи между величинами, то есть одну величину можно выразить через другую посредством математической функции.
Вычислить коэффициент корреляции можно по следующим формулам:
| n |
| Σ |
| k = 1 |
| M x | = |
|
| x k , | M y | = | или по формуле
На практике, для вычисления коэффициента корреляции чаще используется формула (1.4) т.к. она требует меньше вычислений. Однако если предварительно была вычислена ковариация cov(X,Y) , то выгоднее использовать формулу (1.1), т.к. кроме собственно значения ковариации можно воспользоваться и результатами промежуточных вычислений. 1.1 Вычислим коэффициент корреляции по формуле (1.4) , для этого вычислим значения x k 2 , y k 2 и x k y k и занесем их в таблицу 1. Таблица 1
1.2. Вычислим M x по формуле (1.5) . 1.2.1. x k x 1 + x 2 + … + x 26 = 25.20000 + 26.40000 + ... + 25.80000 = 669.500000 1.2.2. 669.50000 / 26 = 25.75000 M x = 25.750000 1.3. Аналогичным образом вычислим M y . 1.3.1. Сложим последовательно все элементы y k y 1 + y 2 + … + y 26 = 30.80000 + 29.40000 + ... + 30.80000 = 793.000000 1.3.2. Разделим полученную сумму на число элементов выборки 793.00000 / 26 = 30.50000 M y = 30.500000 1.4. Аналогичным образом вычислим M xy . 1.4.1. Сложим последовательно все элементы 6-го столбца таблицы 1 776.16000 + 776.16000 + ... + 794.64000 = 20412.830000 1.4.2. Разделим полученную сумму на число элементов 20412.83000 / 26 = 785.10885 M xy = 785.108846 1.5. Вычислим значение S x 2 по формуле (1.6.) . 1.5.1. Сложим последовательно все элементы 4-го столбца таблицы 1 635.04000 + 696.96000 + ... + 665.64000 = 17256.910000 1.5.2. Разделим полученную сумму на число элементов 17256.91000 / 26 = 663.72731 1.5.3. Вычтем из последнего числа квадрат величины M x получим значение для S x 2 S x 2 = 663.72731 - 25.75000 2 = 663.72731 - 663.06250 = 0.66481 1.6. Вычислим значение S y 2 по формуле (1.6.) . 1.6.1. Сложим последовательно все элементы 5-го столбца таблицы 1 948.64000 + 864.36000 + ... + 948.64000 = 24191.840000 1.6.2. Разделим полученную сумму на число элементов 24191.84000 / 26 = 930.45538 1.6.3. Вычтем из последнего числа квадрат величины M y получим значение для S y 2 S y 2 = 930.45538 - 30.50000 2 = 930.45538 - 930.25000 = 0.20538 1.7. Вычислим произведение величин S x 2 и S y 2 . S x 2 S y 2 = 0.66481 0.20538 = 0.136541 1.8. Извлечем и последнего числа квадратный корень, получим значение S x S y . S x S y = 0.36951 1.9. Вычислим значение коэффициента корреляции по формуле (1.4.) . R = (785.10885 - 25.75000 30.50000) / 0.36951 = (785.10885 - 785.37500) / 0.36951 = -0.72028 ОТВЕТ: R x,y = -0.720279 2. Проверяем значимость коэффициента корреляции (проверяем гипотезу зависимости).Поскольку оценка коэффициента корреляции вычислена на конечной выборке, и поэтому может отклоняться от своего генерального значения,
необходимо проверить значимость коэффициента корреляции. Проверка производится с помощью t
-критерия:
Случайная величина t следует t -распределению Стьюдента и по таблице t -распределения необходимо найти критическое значение критерия (t кр.α) при заданном уровне значимости α . Если вычисленное по формуле (2.1) t по модулю окажется меньше чем t кр.α , то зависимости между случайными величинами X и Y нет. В противном случае, экспериментальные данные не противоречат гипотезе о зависимости случайных величин. 2.1. Вычислим значение t -критерия по формуле (2.1) получим:
2.2. Определим по таблице t -распределения критическое значение параметра t кр.α Искомое значение t
кр.α располагается на пересечении строки соответствующей числу степеней свободы
и столбца соответствующего заданному уровню значимости α
. Таблица 2 t -распределение
2.2. Сравним абсолютное значение t -критерия и t кр.α Абсолютное значение t -критерия не меньше критического t = 5.08680, t кр.α = 2.064, следовательно экспериментальные данные, с вероятностью 0.95 (1 - α ), не противоречат гипотезе о зависимости случайных величин X и Y. 3. Вычисляем коэффициенты уравнения линейной регрессии.Уравнение линейной регрессии представляет собой уравнение прямой, аппроксимирующей (приблизительно описывающей) зависимость между случайными величинами X и Y. Если считать, что величина X свободная, а Y зависимая от Х, то уравнение регрессии запишется следующим образом Y = a + b X (3.1), где:
Рассчитанный по формуле (3.2) коэффициент b называют коэффициентом линейной регрессии. В некоторых источниках a называют постоянным коэффициентом регрессии и b соответственно переменным. Погрешности предсказания Y по заданному значению X вычисляются по формулам: Величину σ y/x (формула 3.4) еще называют остаточным средним квадратическим отклонением , оно характеризует уход величины Y от линии регрессии, описываемой уравнением (3.1), при фиксированном (заданном) значении X. | . |
S y / S x = 0.55582
3.3 Вычислим коэффициент b по формуле (3.2)
b = -0.72028 0.55582 = -0.40035
3.4 Вычислим коэффициент a по формуле (3.3)
a = 30.50000 - (-0.40035 25.75000) = 40.80894
3.5 Оценим погрешности уравнения регрессии .
3.5.1 Извлечем из S y 2 квадратный корень получим:
3.5.4 Вычислим относительную погрешность по формуле (3.5)
δ y/x = (0.31437 / 30.50000)100% = 1.03073%
4. Строим диаграмму рассеяния (корреляционное поле) и график линии регрессии.
Диаграмма рассеяния - это графическое изображение соответствующих пар (x k , y k ) в виде точек плоскости, в прямоугольных координатах с осями X и Y. Корреляционное поле является одним из графических представлений связанной (парной) выборки. В той же системе координат строится и график линии регрессии. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы диаграмма была максимально наглядной.4.1. Находим минимальный и максимальный элемент выборки X это 18-й и 15-й элементы соответственно, x min = 22.10000 и x max = 26.60000.
4.2. Находим минимальный и максимальный элемент выборки Y это 2-й и 18-й элементы соответственно, y min = 29.40000 и y max = 31.60000.
4.3. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x 18 = 22.10000, и такой масштаб, чтобы на оси поместилась точка x 15 = 26.60000 и отчетливо различались остальные точки.
4.4. На оси ординат выбираем начальную точку чуть левее точки y 2 = 29.40000, и такой масштаб, чтобы на оси поместилась точка y 18 = 31.60000 и отчетливо различались остальные точки.
4.5. На оси абсцисс размещаем значения x k , а на оси ординат значения y k .
4.6. Наносим точки (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ),…,(x 26 , y 26 ) на координатную плоскость. Получаем диаграмму рассеяния (корреляционное поле), изображенное на рисунке ниже.
4.7. Начертим линию регрессии.
Для этого найдем две различные точки с координатами (x r1 , y r1) и (x r2 , y r2) удовлетворяющие уравнению (3.6), нанесем их на координатную плоскость и проведем через них прямую. В качестве абсциссы первой точки возьмем значение x min = 22.10000. Подставим значение x min в уравнение (3.6), получим ординату первой точки. Таким образом имеем точку с координатами (22.10000, 31.96127). Аналогичным образом получим координаты второй точки, положив в качестве абсциссы значение x max = 26.60000. Вторая точка будет: (26.60000, 30.15970).
Линия регрессии показана на рисунке ниже красным цветом
Обратите внимание, что линия регрессии всегда проходит через точку средних значений величин Х и Y, т.е. с координатами (M x , M y).