Частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям. Дифференциальные уравнения первого порядка
Вспомним задачу, которая стояла перед нами при нахождении определенных интегралов:
или dy = f(x)dx. Ее решение:
и сводится она к вычислению неопределенного интеграла. На практике чаще встречается более сложная задача: найти функцию y , если известно, что она удовлетворяет соотношению вида
Это соотношение связывает независимую переменную x , неизвестную функцию y и ее производные до порядка n включительно, называются .
В дифференциальное уравнение входит функция под знаком производных (или дифференциалов) того или иного порядка. Порядок наивысшей называется порядком (9.1).
Дифференциальные уравнения:
- первого порядка,
Второго порядка,
- пятого порядка и т. д.
Функция, которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить его - значит найти все его решения. Если для искомой функции y удалось получить формулу, которая дает все решения, то мы говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.
Общее решение
содержит n
произвольных постоянных 
и имеет вид
Если получено соотношение, которое связывает x, y и n произвольных постоянных, в виде, не разрешенном относительно y -
то такое соотношение называется общим интегралом уравнения (9.1).
Задача Коши
Каждое конкретное решение, т. е. каждая конкретная функция, которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению и не зависит от произвольных постоянных, называется частным решением, или частным интегралом. Чтобы получить частные решения (интегралы) из общих, надо постоянным придают конкретные числовые значения.
График частного решения называется интегральной кривой. Общее решение, которое содержит все частные решения, представляет собой семейство интегральных кривых. Для уравнения первого порядка это семейство зависит от одной произвольной постоянной, для уравнения n -го порядка - от n произвольных постоянных.
Задача Коши заключается в нахождении частного решение для уравнения n -го порядка, удовлетворяющее n начальным условиям:
по которым определяются n постоянных с 1 , с 2 ,..., c n.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка
Для неразрешенного относительно производной дифференциальное уравнения 1-го порядка имеет вид
или для разрешенного относительно
Пример 3.46 . Найти общее решение уравнения
Решение. Интегрируя, получим
где С - произвольная постоянная. Если придадим С конкретные числовые значения, то получим частные решения, например,
Пример 3.47 . Рассмотрим возрастающую денежную сумму, положенную в банк при условии начисления 100 r сложных процентов в год. Пусть Yo начальная денежная сумма, а Yx - по истечении x лет. При начислении процентов один раз в год,получим
где x = 0, 1, 2, 3,.... При начислении процентов два раза в год, получим
где x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... При начислении процентов n раз в год и если x принимает последовательно значения 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., тогда
Обозначить 1/n = h , тогда предыдущее равенство будет иметь вид:
При н еограниченном увеличении n
(при 
) в пределе приходем к процессу возрастания денежной суммы при непрерывном начислении процентов:
таким образом видно, что при непрерывном изменении x закон изменения денежной массы выражается дифференциальным уравнением 1- го порядка. Где Y x - неизвестная функция, x - независимая переменная, r - постоянная. Решим данное уравнение, для этого перепишем его следующим образом:
откуда 
, или 
, где через P обозначено e C .
Из начальных условий Y(0) = Yo , найдем P: Yo = Pe o , откуда, Yo = P. Следовательно, решение имеет вид:
Рассмотрим вторую экономическую задачу. Макроэкономические модели тоже описываются линейным дифференциальным уравнениям 1-го порядка, описывающим изменение дохода или выпуска продукции Y как функций времени.
Пример 3.48 . Пусть национальный доход Y возрастает со скоростью, пропорциональной его величине:
и пусть, дефицит в расходах правительства прямо пропорционален доходу Y с коэффициентом пропорциональности q . Дефицит в расходах приводит к возрастанию национального долга D:
Начальные условия Y = Yo и D = Do при t = 0. Из первого уравнения Y= Yoe kt . Подставляя Y получаем dD/dt = qYoe kt . Общее решение имеет вид
D = (q/ k) Yoe kt +С, где С = const, которая определяется из начальных условий. Подставляя начальные условия, получаем Do = (q/ k)Yo + С. Итак, окончательно,
D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),
отсюда видно, что национальный долг возрастает с той же относительной скоростью k , что и национальный доход.
Рассмотрим ростейшие дифференциальные уравнения n -го порядка, это уравнения вида
Его общее решение получитм с помощью n раз интегрирований.
Пример 3.49. Рассмотрим пример y """ = cos x.
Решение. Интегрируя, находим
Общее решение имеет вид
Линейные дифференциальные уравнения
В экономике большое применение имеют , рассмотрим решение таких уравнений. Если (9.1) имеет вид:
то оно называется линейным, где рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - заданные функции. Если f(x) = 0, то (9.2) называется однородными, в противном случае - неоднородным. Общее решение уравнения (9.2) равно сумме какого-либо его частного решения y(x) и общего решения однородного уравнения соответствующего ему:
Если коэффициенты р o (x), р 1 (x),..., р n (x) постоянные, то (9.2)
(9.4) называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами порядка n .
Для (9.4) имеет вид:
Можно положить без ограничения общности р o = 1 и записать (9.5) в виде
Будем искать решение (9.6) в виде y = e kx , где k - константа. Имеем: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Подставим полученные выражения в (9.6), будем иметь:
(9.7) есть алгебраическое уравнение, его неизвестным является k
, оно называется характеристическим. Характеристическое уравнение имеет степень n
и n
корней, среди которых могут быть как кратные, так и комплексные. Пусть k 1 , k 2 ,..., k n - действительные и различные, тогда 
- частные решения (9.7), а общее
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Его характеристическое уравнение имеет вид
(9.9)
его дискриминант D = р 2 - 4q в зависимости от знака D возможны три случая.
1. Если D>0, то корни k 1 и k 2 (9.9) действительны и различны, и общее решение имеет вид:
Решение. Характеристическое уравнение: k 2 + 9 = 0, откуда k = ± 3i, a = 0, b = 3, общее решение имеет вид:
y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.
Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка применяются при изучении экономической модели паутинообразного типа с запасами товаров, где скорость изменения цены P зависит от величины запаса (см. параграф 10). В случае если спрос и предложение являются линейными функциями цены, то есть
а - есть постоянная, определяющая скорость реакции, то процесс изменения цены описывается дифференциальным уравнением:
За частное решения можно взять постоянную
имеющую смысл цены равновесия. Отклонение 
удовлетворяет однородному уравнению
(9.10)
Характеристическое уравнение будет следующее:
В случае член положителен. Обозначим 
. Корни характеристического уравнения k 1,2 = ± i w, поэтому общее решение (9.10) имеет вид:
где C и произвольные постоянные, они определяются из начальных условий. Получили закон изменения цены во времени:
Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка, т.е. уравнение
и установим некоторые свойства его решений.
Свойство 1
Если
является
решением линейного однородного
уравнения, то C
,
где C
- произвольная постоянная,
является решением того же
уравнения.
Доказательство.
Подставляя
в левую часть рассматриваемого
уравнения C
,
получим:
,
но
,
т.к.
является
решением исходного уравнения.
Следовательно,
и
справедливость указанного свойства
доказана.
Свойство 2
Сумма двух решений
линейного однородного уравнения
является решением того же уравнения.
Доказательство.
Пусть
и
являются
решениями рассматриваемого уравнения,
тогда
и
.
Подставляя теперь
+
в рассматриваемое уравнение будем
иметь:
,
т.е.
+
есть решение исходного уравнения.
Из доказанных свойств следует, что,
зная два частных решения
и
линейного
однородного уравнения второго порядка,
мы можем получить решение
,
зависящее от двух произвольных
постоянных, т.е. от такого количества
постоянных, какое должно содержать
общее решение уравнение второго
порядка. Но будет ли это решение общим,
т.е. можно ли путем выбора произвольных
постоянных
и
удовлетворить
произвольно заданным начальным
условиям?
При ответе на этот вопрос
будет использовано понятие линейной
независимости функций, которую можно
определить следующим образом.
Две функции
и
называются
линейно независимыми
на некотором
интервале, если их отношение на этом
интервале не является постоянным,
т.е. если
.
В противном случае функции называются
линейно зависимыми
.
Иными
словами, две функции
и
называются
линейно зависимыми на некотором
интервале, если
на
всем интервале.
Примеры
1. Функции y
1
= e
x
и
y
2
=
e
-
x
линейно
независимы при всех значениях x , т.к.
.
2. Функции y
1
= e
x
и
y
2
=
5 e
x
линейно
зависимы, т.к. 
.
Теорема 1.
Если функции и линейно зависимы на некотором интервале, то определитель , называемый определителем Вронского данных функций, тождественно равен нулю на этом интервале.
Доказательство.
Если
,
где
,
то
и
.
Следовательно,
.
Теорема доказана.
Замечание.
Определитель Вронского,
фигурирующий в рассмотренной теореме,
обычно обозначается буквой W
или
символами
.
Если функции
и
являются
решениями линейного однородного
уравнения второго порядка, то для них
справедлива следующая обратная и
притом более сильная теорема.
Теорема 2.
Если определитель Вронского, составленный для решений и линейного однородного уравнения второго порядка, обращается в ноль хотя бы в одной точке, то эти решения линейно зависимы.
Доказательство.
Пусть определитель Вронского обращается
в ноль в точке
,
т.е.
=0,
и пусть
и
.
Рассмотрим линейную однородную
систему 
относительно
неизвестных
и
.
Определитель этой системы
совпадает
со значением определителя Вронского
при
x=
,
т.е. совпадает с
,
и, следовательно, равен нулю. Поэтому
система имеет ненулевое решение
и
(
и
не
равны нулю). Используя эти значения
и
,
рассмотрим функцию
.
Эта функция является решением того
же уравнения, что и функции
и
.
Кроме того, эта функция удовлетворяет
нулевым начальным условиям:
,
т.к.
и
.
С другой стороны, очевидно, что
решением уравнения
,
удовлетворяющим нулевым начальным
условиям, является функция y
=0.
В
силу единственности решения, имеем:
.
Откуда следует, что 
,
т.е. функции
и
линейно
зависимы. Теорема доказана.
Следствия.
1. Если определитель Вронского, фигурирующий в теоремах, равен нулю при каком-нибудь значении x= , то он равен нулю при любом значении x из рассматриваемого интервала.
2. Если решения и линейно независимы, то определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке рассматриваемого интервала.
3. Если определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке, то решения и линейно независимы.
Теорема 3.
Если и - два линейно независимых решения однородного уравнения второго порядка , то функция , где и - произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.
Доказательство.
Как известно, функция
является
решением рассматриваемого уравнения
при любых значениях
и
.
Докажем теперь, что каковы бы ни были
начальные условия
и
,
можно так подобрать значения
произвольных постоянных
и
,
чтобы соответствующее частное решение
удовлетворяло заданным начальным
условиям.
Подставляя начальные
условия в равенства, получим систему
уравнений 
.
Из этой системы можно определить
и
,
т.к. определитель этой системы 
есть
определитель Вронского при x=
и,
следовательно, не равен нулю (в силу
линейной независимости решений
и
).
;
.
Частное решение при полученных значениях и удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.
Примеры
Пример 1.
Общим решением
уравнения
является
решение
.
Действительно,
.
Следовательно, функции sinx и cosx линейно независимы. В этом можно убедиться, рассмотрев отношение этих функций:
Пример 2.
Решение y = C
1
e
x
+
C
2
e
- x
уравнения
является
общим, т.к.
.
Пример 3.
Уравнение
,
коэффициенты которого
и
непрерывны
на любом интервале, не содержащем
точки x = 0, допускает частные решения
(легко
проверить подстановкой). Следовательно,
его общее решение имеет вид: 
.
Замечание
Мы установили, что общее решение линейного однородного уравнения второго порядка можно получить зная два каких-либо линейно независимых частных решения этого уравнения. Однако, не существует общих методов для нахождения таких частных решений в конечном виде для уравнений с переменными коэффициентами. Для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует и будет рассмотрен нами позднее.
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.
Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными . Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово "обыкновенные".
Примеры дифференциальных уравнений:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
Уравнение (1) - четвёртого порядка, уравнение (2) - третьего порядка, уравнения (3) и (4) - второго порядка, уравнение (5) - первого порядка.
Дифференциальное уравнение n -го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n -го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.
Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) - производной второго порядка и функции; в уравнении (4) - независимой переменной; в уравнении (5) - функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.
Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x) , при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием .
Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .
Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления , есть первообразная для , т. е.
Это и есть решение данного дифференциального уравнения . Меняя в нём C , будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения n -го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.
Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.
Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.
Пример 2.
Найти общее решение дифференциального уравнения
и частное решение при 
.
Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.
,
.
В результате мы получили общее решение -
данного дифференциального уравнения третьего порядка.
Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим
.
Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши . В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C , а затем частное решение уравнения при найденном значении C . Это и есть решение задачи Коши.
Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .
Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем
Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:
При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных , в том числе сложных функций . Это видно на следующем примере.
Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.
.
Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой) . Пусть , тогда .
Требуется взять dx и теперь - внимание - делаем это по правилам дифференцирования сложной функции , так как x и есть сложная функция ("яблоко" - извлечение квадратного корня или, что то же самое - возведение в степень "одна вторая", а "фарш" - самое выражение под корнем):
Находим интеграл:
Возвращаясь к переменной x , получаем:
.
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.
Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x . Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.
Дифференциальное уравнение (ДУ)
- это уравнение ,
где - независимые переменные, y
- функция и - частные производные.
Обыкновенное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную, .
Дифференциальное уравнение в частных производных - это дифференциальное уравнение, которое имеет две и более независимых переменных.
Слова “обыкновенные“ и "в частных производных" могут опускаться, если ясно, какое уравнение рассматривается. В дальнейшем рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.
Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной.
Вот пример уравнения первого порядка:
Вот пример уравнения четвертого порядка:
Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:
В этом случае переменные x
и y
являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x
так и y
.
В первом случае y
является функцией от x
.
Во втором случае x
является функцией от y
.
Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′
.
Разделив это уравнение на dx
,
мы получим:
.
Поскольку и ,
то отсюда следует, что
.
Решение дифференциальных уравнений
Производные от элементарных функций выражаются через элементарные функции. Интегралы от элементарных функций часто не выражаются через элементарные функции. С дифференциальными уравнениями дело обстоит еще хуже. В результате решения можно получить:
- явную зависимость функции от переменной;
Решение дифференциального уравнения - это функция y = u(x) , которая определена, n раз дифференцируема, и .
- неявную зависимость в виде уравнения типа Φ(x, y)
= 0
или системы уравнений;
Интеграл дифференциального уравнения - это решение дифференциального уравнения, которое имеет неявный вид.
- зависимость, выраженную через элементарные функции и интегралы от них;
Решение дифференциального уравнения в квадратурах - это нахождение решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них.
- решение может не выражается через элементарные функции.
Поскольку решение дифференциальных уравнений сводится к вычислению интегралов, то в состав решения входит набор постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Количество постоянных равно порядку уравнения.Частный интеграл дифференциального уравнения - это общий интеграл при заданных значениях постоянных C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .
Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Или уже решены относительно производной , или их можно решить относительно производной 
.
Общее решение дифференциальных уравнений типа на интервале X , который задан, можно найти, взяв интеграл обоих частей этого равенства.
Получим 
.
Если посмотреть на свойства неопределенного интеграла, то найдем искомое общее решение:
y = F(x) + C ,
где F(x) - одна из первообразных функции f(x) на промежутке X , а С - произвольная постоянная.
Обратите внимание, что в большинстве задач интервал X не указывают. Это значит, что решение нужно находить для всех x , при которых и искомая функция y , и исходное уравнение имеют смысл.
Если нужно вычислить частное решение дифференциального уравнения , которое удовлетворяет начальному условию y(x 0) = y 0 , то после вычисления общего интеграла y = F(x) + C , еще необходимо определить значение постоянной C = C 0 , используя начальное условие. Т.е., константу C = C 0 определяют из уравнения F(x 0) + C = y 0 , и искомое частное решение дифференциального уравнения примет вид:
y = F(x) + C 0 .
Рассмотрим пример:
Найдем общее решение дифференциального уравнения , проверим правильность результата. Найдем частное решение этого уравнения, которое удовлетворяло бы начальному условию .
Решение:
После того, как мы проинтегрировали заданное дифференциальное уравнение, получаем:
.
Возьмем этот интеграл методом интегрирования по частям:
Т.о., 
является общим решением дифференциального уравнения.
Чтобы убедиться в правильности результата, сделаем проверку. Для этого подставляем решение, которое мы нашли, в заданное уравнение:
.
То есть, при 
исходное уравнение превращается в тождество:
поэтому общее решение дифференциального уравнения определили верно.
Решение, которое мы нашли, является общим решением дифференциального уравнения для каждого действительного значения аргумента x .
Осталось вычислить частное решение ОДУ, которое удовлетворяло бы начальному условию . Другими словами, необходимо вычислить значение константы С , при котором будет верно равенство:
.
.
Тогда, подставляя С = 2 в общее решение ОДУ, получаем частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет первоначальному условию:
.
Обыкновенное дифференциальное уравнение 
можно решить относительно производной, разделив 2 части равенства на f(x)
. Это преобразование будет равнозначным, если f(x)
не превращается в нуль ни при каких x
из интервала интегрирования дифференциального уравнения X
.
Вероятны ситуации, когда при некоторых значениях аргумента x ∈ X функции f(x) и g(x) одновременно превращаются в нуль. Для подобных значений x общим решением дифференциального уравнения будет всякая функция y , которая определена в них, т.к. .
Если для некоторых значений аргумента x ∈ X выполняется условие , значит, в этом случае у ОДУ решений нет.
Для всех других x из интервала X общее решение дифференциального уравнения определяется из преобразованного уравнения .
Разберем на примерах:
Пример 1.
Найдем общее решение ОДУ: 
.
Решение.
Из свойств основных элементарных функций ясно, что функция натурального логарифма определена для неотрицательных значений аргумента, поэтому областью определения выражения ln(x+3) есть интервал x > -3 . Значит, заданное дифференциальное уравнение имеет смысл для x > -3 . При этих значениях аргумента выражение x + 3 не обращается в нуль, поэтому можно решить ОДУ относительно производной, разделив 2 части на х + 3 .
Получаем 
.
Далее проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение, решенное относительно производной: 
. Для взятия этого интеграла пользуемся методом подведения под знак дифференциала.