Одноканальная смо с ожиданием. Основные понятия систем массового обслуживания

В систему поступает пуассоновский поток требований интенсивностью λ, поток обслуживания имеет интенсивность μ, максимальное число мест в очереди – т. Если заявка поступает в систему, когда все места в очереди заняты, она покидает систему необслуженной.

Финальные вероятности состояний такой системы всегда существуют, так как число состояний конечно:

S 0 – система свободна и находится в состоянии простоя;

S 1 – обслуживается одна заявка, канал занят, очереди нет;

S 2 – одна заявка обслуживается, одна в очереди;

S m +1 - одна заявка обслуживается,т в очереди.

Граф состояний такой системы показан на рисунке номер 5:

S 0 S 1 S 2 S m+1

μ μ μ ………. μ μ

Рисунок 5: Одноканальная СМО с ограниченной очередью.

В формуле для р 0 найдем сумму конечного числа членов геометрической прогрессии:

(52)

С учетом формулы для ρ получим выражение:

В скобках находится (m+2) элементов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем ρ. По формуле суммы (m+2) членов прогрессии:

(54)

(55)

Формулы для вероятностей предельных состояний будут иметь вид:

Вероятность отказа в обслуживании заявки определим как вероятность того, что при поступлении заявки в систему ее канал будет занят и все места в очереди также заняты:

(57)

Отсюда вероятность обслуживания (а также и относительная пропускная способность ) равны вероятности противоположного события:

Абсолютная пропускная способность – число заявок, обслуженных системой в единицу времени:

(59)

Среднее число заявок под обслуживанием:

(60)

(61)

Среднее число заявок в системе:

(62)

Одноканальную СМО с ограниченной очередью можно рассмотреть в Mathcad.

Пример :

На стоянке обслуживается 3 машины с интенсивностью потока 0,5 и средним временем обслуживания 2,5 минуты. Определить все показатели системы.

6 Многоканальная смо с неограниченной очередью

Пусть дана система S, имеющаяп каналов обслуживания, на которые поступает простейший поток требований интенсивностью λ. Пусть поток обслуживания также простейший и имеет интенсивность μ. Очередь на обслуживание не ограничена.

По числу заявок, находящихся в системе, обозначим состояния системы: S 0 ,S 1 ,S 2 ,…,S k ,… S n , гдеS k – состояние системы, когда в ней находитсяkзаявок (максимальное число заявок под обслуживанием -n). Граф состояний такой системы изображается в виде схемы на рисунке номер 6:

λ λ λ λ λ λ λ

……. …….

S 0 S 1 S 2 S m+1 S n

μ 2μ 3μ ………. kμ (k+1)μ …… nμ nμ

Рисунок 6: Многоканальная СМО с неограниченной очередью.

Интенсивность потока обслуживаний меняется в зависимости от состояния системы: kμ при переходе из состоянияS k в состояниеS k -1 так как может освободиться любой изk каналов; после того, как все каналы заняты обслуживанием, интенсивность потока обслуживаний остается равнойпμ, при поступлении в систему следующих заявок.

Для нахождения финальных вероятностей состояний получим формулы аналогично тому, как это было сделано для одноканальной системы.

(63)

Отсюда формулы для финальных вероятностей выражаются через

Для нахождения р 0 получим уравнение:

Для слагаемых в скобках, начиная с (n+ 2)-го, можно применить формулу нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членоми знаменателем ρ/n:

(66)

Окончательно получим формулу Эрланга для нахождения вероятности простоя системы:

(67)

Приведем формулы для расчета основных яоказателей эффективности работы системы.

Система будет справляться с потоком заявок, если

выполнено условие

, (68)

которое означает, что число заявок, поступивших в систему за единицу времени, не превосходит числа заявок, обслуженных системой за это же время. При этом вероятность отказа в обслуживании равна нулю.

Отсюда вероятность обслуживания (а также иотносительная пропускная способность системы) равны вероятности противоположного события, то есть единице:

(69)

Абсолютная пропускная способность - число заявок, обслуженныхсистемой в единицу времени:

(70)

Если система справляется с потоком заявок, то в стационарном режиме интенсивность выходящего потока равна интенсивности потока поступающих в систему заявок, так как обслуживаются все заявки:

ν=λ . (71)

Так как каждый канал обслуживает μ заявок в единицу времени, то среднее число занятых каналов можно вычислить:

(72)

Среднее время обслуживания каналом одной заявки;

. (73)

Вероятность того, что при поступлении в систему заявка окажется в очереди, равна вероятности того, что в системе находится более чем п заявок:

(74)

Число заявок, находящихся под обслуживанием, равно числу занятых каналов:

(75)

Среднее число заявок в очереди:

(76)

Тогда среднее число заявок в системе:

(77)

Среднее время пребывания заявки в системе (в очереди):

(78)

(79)

Многоканальную СМО с неограниченной очередью можно рассмотреть в системе Mathcad.

Пример 1 :

Салон-парикмахерская имеет 5 мастеров. В час пик интенсивность потока клиентов равна 6 человек. В час. Обслуживание одного клиента длится в среднем 40 минут. Определить среднюю длину очереди, считая ее неограниченной.

Фрагмент решения задачи в Mathcad.

Пример 2:

В железнодорожной кассе имеются 2 окна. Время на обслуживания одного пассажира 0,5 минут. Пассажиры подходят к кассе по 3 человека. Определить все характеристики системы.

Фрагмент решения задачи в Mathcad.

Продолжение решения задачи в Mathcad.

Системы МО являются частью более широкого класса динамических систем, которые иногда называют системами потоков. Системой потоков называется система, в которой некоторые предметы перемещаются по одному или нескольким каналам с ограниченной пропускной способностью с целью перемещения из одной точки в другую. При анализе систем потоков их разбивают на два основных класса:

регулярные системы, т. е. системы, в которых потоки ведут себя предсказуемым образом (известны величина потока и время его появления в канале). В случае, когда канал один, расчет системы тривиален. Очевидно, что между интенсивностью потока λ и скоростью обслуживания с есть соотношение λ < c ;

нерегулярные системы, т. е. системы, в которых потоки ведут себя непредсказуемым образом.

Более интересным является случай регулярного потока, который распределяется по сети каналов. Очевидно, что условие λ < c сохраняется для каждого канала. При этом возникает сложная комбинаторная задача.

Имеется семь дорог:

2. A→B→D→E→F

3. A→C→B→ E→F

   A→C→B→D→E→F

   A→C→B→ D→F

Необходимо перевезти груз из А в F . Пропускная способность каждого канала известна. Какова пропускная способность сети и каким путем должен следовать поток? Решить эту задачу можно с помощью теоремы о максимальном потоке, которую мы рассматривали ранее (рис.6).

Ко второму классу относятся случайные вероятные потоки, в которых время поступления требования не определено, число требований непредсказуемо. Решением таких задач и занимается теория массового обслуживания.

В общем случае система массового обслуживания может быть представлена на рисунке 7.

Рис. 7.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, производительностью, правильностью работы и эффективностью.

В качестве характеристик эффективности могут применяться следующие величины и функции:

среднее количество заявок, которые может обслужить СМО в единицу времени;

среднее количество заявок, получающих отказ и покидающих СМО;

вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет обслужена;

среднее время ожидания в очереди;

среднее количество заявок в очереди;

средний доход СМО в единицу времени и другие экономические показатели СМО .

Анализ СМО упрощается, если в системе протекает марковский процесс, тогда систему можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а предельные вероятности – линейными алгебраическими уравнениями.

Марковский процесс требует, чтобы все потоки были пуассоновскими (без последействий), но аппарат марковских процессов используется и тогда, когда процесс отличен от марковского. В этом случае характеристики СМО могут быть оценены приблизительно: чем сложнее СМО, тем точнее приближение.

Классификация систем массового обслуживания

СМО могут быть двух видов:

СМО с отказами;

СМО с ожиданием (т. е. с очередью).

Обслуживание в системах с очередью может иметь различный характер:

обслуживание может быть упорядоченным;

обслуживание в случайном порядке;

обслуживание с приоритетом, при этом приоритет может быть с прерыванием и без прерывания.

Системы с очередью делятся на:

системы с неограниченным ожиданием , при этом поступившая в СМО задача становится в очередь и ждет обслуживания. Рано или поздно она будет обслужена;

системы с ограниченным ожиданием , при этом на заявку в очереди накладываются ограничения, например ограниченное время пребывания в очереди, длина очереди, общее время пребывания в СМО. В зависимости от типа СМО для оценки эффективности могут быть применены разные показатели.

Для СМО с отказами используются следующие показатели эффективности:

абсолютная пропускная способность А – среднее число заявок, которое может быть обслужено в единицу времени;

относительная пропускная способность Q – относительное среднее число заявок. При этом относительную пропускную способность можно найти по формуле

Где λ – это интенсивность поступления заявок в СМО.

Для СМО с ожиданием абсолютная пропускная способность А и относительная пропускная способность Q теряют смысл, но важными становятся другие характеристики:

единица времени ожидания в очереди;

среднее число заявок в очереди;

среднее время пребывания в системе.

Для СМО с ограниченной очередью интересны обе группы характеристик.

Рассмотрим n - канальную систему массового обслуживания с ожиданием.

Интенсивность потока обслуживания равна μ. Длительность обслуживания – случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий.

Размер очереди допускает нахождение в ней m заявок.

Для нахождения предельных вероятностей можно использовать следующие выражения.

(0‑1)

где.

Вероятность отказа в обслуживании заявки (отказ произойдет в случае, если все каналы заняты и в очереди находятся m заявок):

(0‑2)

Относительная пропускная способность .

(0‑3)

Абсолютная пропускная способность .

(0‑4)

Среднее число занятых каналов.

Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает (в отличие от СМО с отказами) со средним числом заявок в системе. Отличие равно числу заявок, ожидающих в очереди.

Обозначим среднее число занятых каналов. Каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени, а СМО в целом – А заявок в единицу времени. Разделив А на μ получим

(0‑5)

Среднее число находящихся в очереди заявок.

Для нахождения среднего числа ожидающих в очереди заявок в случае, если χ≠1, можно использовать выражение:

(0‑6)

(0‑7)

где = .

Среднее число находящихся в системе заявок.

(0‑8)

Среднее время ожидания заявки в очереди .

Среднее время ожидания заявки в очереди можно найти из выражения (χ≠1).

(0‑9)

Среднее время пребывания заявки в системе.

Так же как и в случае с одноканальной СМО имеем:

(0‑10)

Содержание работы .

Подготовка инструментария эксперимента .

Выполняется в соответствии с общими правилами.

Расчет на аналитической модели .

1. В приложение Microsoft Excel подготовьте таблицу следующего вида.

Параметры СМО

Аналитическая модель

Имитационная модель

n

m

T a

Ts

ρ

χ

P0

P1

p2

Pотк

W

nож

q

A

Pотк

W

q

A

2. В столбцах для параметров СМО таблицы запишите свои исходные данные, которые определяются по правилу:

n =1,2,3

m=1,3,5

Для каждой комбинации { n ,m} необходимо найти теоретические и экспериментальные значения показателей СМО для таких пар значений:

= <порядковый номер в списке группы>

3. В столбцы с показателями аналитической модели впишите соответствующие формулы.

Эксперимент на имитационной модели .

1. Установите режим запусков с экспоненциально распределенным временем обслуживания, задав значение соответствующего параметра равным 1.

2. Для каждой комбинации n, m, и осуществите запуск модели.

Результаты запусков внесите в таблицу.

3. Внесите в соответствующие столбцы таблицы формулы для расчета среднего значения показателя Pотк, q и А.

Анализ результатов .

1. Проанализируйте результаты, полученные теоретическим и экспериментальным способами, сравнив результаты между собой.

2. Для одной из комбинаций {n,m} постройте на одной диаграмме графики зависимости Pотк от на теоретически и экспериментально полученных данных.

Оптимизация параметров СМО .

Решите задачу оптимизации размера числа мест в очереди m для двух приборов со средним временем обслуживания = с точки зрения получения максимальной прибыли. В качестве условий задачи возьмите:

- доход от обслуживания одной заявки равным 80у.е./час,

- стоимость содержания одного прибора - 1у.е./час,

- стоимость содержания одного места в очереди – 0.2у.е./час.

1. Для расчетов целесообразно создать таблицу:

Первый столбец заполняется значениями числа приборов n =1.

Второй столбец заполняется значениями чисел натурального ряда (1,2,3…).

Все клетки третьего и четвертого столбцов заполняются значениями.

В клетки столбцов с пятого по четырнадцатый переносятся формулы для столбцов таблицы раздела 0.

В столбцы с исходными данными разделов Доход, Расход, Прибыль внесите значения (см. выше).

В столбцах с вычисляемыми значениями разделов Доход, Расход, Прибыль запишите расчетные формулы:

- число заявок в единицу времени

N r =A

- суммарный доход в единицу времени

I S = I r *N r

- суммарный расход в единицу времени

E S =E s *n + E q *m

- прибыль в единицу времени

P = I S - E S

где

I r - доход от одной заявки ,

E s - расход на один прибор ,

E q - расход на одно место в очереди

2. Заполните строки таблицы для n=2 и n=3.

Найдите m опт для n =1 ,2,3.

3. Постройте на одной диаграмме графики зависимости C(m) для n=1,2,3.

Отчет по работе :

Отчет по работе должен включать:

- исходные данные,

- результаты расчетов и экспериментов с программной моделью,

Графики для P отк ,

- таблицу с данными для нахождения наилучшего m и значение m опт,

- графики зависимости прибыли в единицу времени от m для n=1,2,3.

Контрольные вопросы :

1) Дайте краткое описание многоканальной модели СМО с ограниченной очередью.

2) Какими показателями характеризуется функционирование многоканальной СМО с ограниченной очередью?

3) Как рассчитываются предельные вероятности многоканальной СМО с ограниченной очередью?

4) Как найти вероятность отказа обслуживания заявки?

5) Как найти относительную пропускную способность?

6) Чему равна абсолютная пропускная способность?

7) Как подсчитывается среднее число заявок в системе?

8) Приведите примеры многоканальной СМО с ограниченной очередью.

Задачи .

1) На автозаправочной станции установлены 3 колонки и площадка на 3 автомобиля для ожидания заправки. В среднем на станцию прибывает одна машина каждые 4 минуты. Среднее время обслуживания одной машины - 2,8 мин. Определить характеристики работы автозаправочной станции.

2) На станцию технического осмотра автомобилей, имеющего 3 смотровых поста, в среднем поступает 1 автомобиль за 0,4 часа. Стоянка во дворе вмещает 3 машины. Среднее время работы одного поста - 0,5 часа. Определить характеристики работы СТО.

3) В магазин осуществляется завоз товаров автомобилями. В течение дня прибывают в среднем 6 машин. Подсобные помещения для подготовки товаров к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя машинами. В магазине работают посменно три фасовщика товаров, каждый из которых в среднем может обрабатывать товар одной машины в течение 5 часов. Продолжительность рабочего дня фасовщиков составляет 12 часов. Определить характеристики работы магазина, а также, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была больше 0,96.

4) В магазине работают три кассы. Среднее время обслуживания одного покупателя - 3 мин. Интенсивность потока покупателей - 7 человек в минуту. Число покупателей, стоящих в очереди к кассе, не может превышать 5 человек. Покупатель, пришедший в магазин, в котором в каждой очереди в кассу 5 человек, не ждет, а уходит из магазина. Определить характеристики работы магазина.

5) Оптовый склад производит отпуск товаров клиентам. Погрузку автомашины осуществляют три бригады грузчиков, каждая из которых состоит из 4 человек. Склад одновременно вмещает 5 автомашин и, если в это время прибывает новая автомашина, то она не обслуживается. Интенсивность входящего потока составляет 5 автомашин в час. Интенсивность по грузки составляет 2 автомашины в час. Дайте оценку работы склада и вариант его реорганизации.

6) Таможня располагает тремя терминалами. Интенсивность потока автомашин, перевозящих грузы и подлежащих прохождению таможенного контроля, составляет 30 шт. в сутки. Среднее время таможенной обработки на терминале одной автомашины составляет 3 часа. Если в очереди на прохождение таможенного контроля стоят 5 автомашин, то приезжающие автомашины уезжают на другую таможню. Найти показатели эффективности работы таможни.

7) На строительную площадку в среднем через 40 мин прибывают автомашины со строительным материалом. Среднее время разгрузки одной автомашины составляет 1,8 часа. В разгрузке принимают участие две бригады грузчиков. На территории строительной площадки может находиться в очереди на разгрузку не более 5 автомашин. Определить показатели эффективности работы строительной площадки.

8) На мойку, имеющую три рабочих места, в среднем в час приезжает 12 автомашин. Если в очереди уже находится 6 автомашин, вновь приезжающие автомобили не встают в очередь, а покидают мойку. Среднее время мойки автомашины составляет 20 мин, средняя стоимость услуг мойки - 150 руб. Определить показатели эффективности работы мойки и среднюю величину потери выручки в течение рабочего дня (с 9 до 19 часов).

9) Интенсивность потока автомашин, перевозящих грузы и подлежащих прохождению таможенного контроля, составляет 50 шт. в сутки. Среднее время таможенной обработки на терминале одной автомашины составляет 2,8 часа. Максимальная очередь на прохождение таможенного контроля должна быть не более 8 автомашин. Определить, какое количество терминалов надо открыть на таможне, чтобы вероятность простоя автомашин была минимальна.

Система с ограниченной длиной очереди . Рассмотрим канальную СМО с ожиданием, на которую поступает поток заявок с интенсивностью ; интенсивность обслуживания (для одного канала) ; число мест в очереди .

Состояния системы нумеруются по числу заявок, связанных системой:

нет очереди:

Все каналы свободны;

Занят один канал, остальные свободны;

Заняты каналов, остальные нет;

Заняты все каналов, свободных нет;

есть очередь:

Заняты все n каналов; одна заявка стоит в очереди;

Заняты все n каналов, r заявок в очереди;

Заняты все n каналов, m заявок в очереди.

ГСП приведен на рис. 5.9. У каждой стрелки проставлены соответствующие интенсивности потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит всегда один и тот же поток заявок с интенсивностью , по стрелкам справа налево систему переводит поток обслуживании, интенсивность которого равна , умноженному на число занятых каналов.

Многоканальная экспоненциальная СМО отличается от одноканальной следующим. Число каналов в ней более одного. Приходящая заявка становится в очередь, если все каналы заняты. В противном случае заявка занимает свободный канал. (5.56)

Напишем выражения для предельных вероятностей состояний, используя обозначение : (см.5.45)

Вероятность отказа . Поступившая заявка получает отказ, если заняты все n каналов и все m мест в очереди:

(5.57)

Относительная пропускная способность дополняет вероятность отказа до единицы:

Абсолютная пропускная способность СМО:

(5.58)

Среднее число занятых каналов . Для СМО с отказами оно совпадало со средним числом заявок, находящихся в системе. Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе: последняя величина отличается от первой на среднее число заявок, находящихся в очереди.

Обозначим среднее число занятых каналов . Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени, а СМО в целом обслуживает в среднем А заявок в единицу времени. Разделив одно на другое, получим:

Среднее число заявок в очереди можно вычислить непосредственно как математическое ожидание дискретной случайной величины:

(5.59)

Здесь опять (выражение в скобках) встречается производная суммы геометрической прогрессии (см. выше (5.50), (5.51)-(5.53)), используя соотношение для нее, получаем:

Среднее число заявок в системе:

Среднее время ожидания заявки в очереди . Рассмотрим ряд ситуаций, различающихся тем, в каком состоянии застанет систему вновь пришедшая заявка и сколько времени ей придется ждать обслуживания.

Если заявка застанет не все каналы занятыми, ей вообще не придется ждать (соответствующие члены в математическом ожидании равны нулю). Если заявка придет в момент, когда заняты все п каналов, а очереди нет, ей придется ждать в среднем время, равное (потому что «поток освобождений» каналов имеет интенсивность ). Если заявка застанет все каналы занятыми и одну заявку перед собой в очереди, ей придется в среднем ждать в течение времени (по на каждую впереди стоящую заявку) и т. д. Если заявка застанет в очереди заявок, ей придется ждать в среднем в течение времени . Если вновь пришедшая заявка застанет в очереди уже m заявок, то она вообще не будет ждать (но и не будет обслужена).

Среднее время ожидания найдем, умножая каждое из этих значений на соответствующие вероятности:

(5.60)

Так же, как и в случае одноканальной СМО с ожиданием, отметим, что это выражение отличается от выражения для средней длины очереди (5.59) только множителем , т. е.

Среднее время пребывания заявки в системе , так же, как и для одноканальной СМО , отличается от среднего времени ожидания на среднее время обслуживания, умноженное на относительную пропускную способность:

Системы с неограниченной длиной очереди .

Мы рассмотрели канальную СМО с ожиданием, когда в очереди одновременно могут находиться не более m заявок.

Так же, как и ранее, при анализе систем без ограничений необходимо рассмотреть полученные соотношения при .

Вероятности состояний получим из формул (5.56) предельным переходом (при ). Заметим, что сумма соответствующей геометрической прогрессии сходится при и расходится при > 1. Допустив, что < 1 и устремив в формулах (5.56) величину m к бесконечности, получим выражения для предельных вероятностей состояний:

(5.61)

Вероятность отказа, относительная и абсолютная пропускная способность. Так как каждая заявка рано или поздно будет обслужена, то характеристики пропускной способности СМО составят:

Среднее число заявок в очереди получим при из (5.59):

а среднее время ожидания - из (5.60):

Среднее число занятых каналов , как и ранее, определяется через абсолютную пропускную способность:

Среднее число заявок, связанных с СМО, определяется как среднее число заявок в очереди плюс среднее число заявок, находящихся под обслуживанием (среднее число занятых каналов):

Усложнение структур и режимов реальных систем затрудняет применение классических методов теории массового обслуживания ввиду возрастающей размерности решаемых задач, что особенно характерно для систем с сетевой структурой. Одним из возможных путей преодоления размерности является использование моделей в форме сетей массового обслуживания (СеМО).

СеМО представляет собой совокупность конечного числа обслуживающих узлов, в которой циркулируют заявки, переходящие в соответствии с маршрутной матрицей из одного узла в другой. Узел всегда является разомкнутой СМО . При этом отдельные СМО СМО − структуру системы, а требования, циркулирующие по СеМО , − составляющие материальных потоков (сообщения (пакеты) в коммуникационной сети, задания в мультипроцессорных системах, контейнеры грузопотоков и т.п.).

В свою очередь, СеМО используют для определения важнейших системных характеристик информационных систем: производительности; времени доставки пакетов; вероятности потери сообщений и блокировки в узлах ; области допустимых значений нагрузки, при которых обеспечивается требуемое качество обслуживания и др.

В теории СеМО фундаментальным является понятие состояния сети. Важнейшая характеристика сетей МО − вероятности их состояний. Для определения вероятностей состояний СеМО исследуют протекающий в сети случайный процесс. В качестве моделей протекающих в СеМО процессов также наиболее часто используют марковские и полумарковские.

3.3. Система массового обслуживания как модель

1.5. Сети массового обслуживания

Марковским процессом с непрерывным временем описывают функционирование экспоненциальных СеМО.

Сеть называется экспоненциальной, если входящие потоки требований в каждую СМО пуассоновские , а времена каждого этапа обслуживания, реализуемого на любой СМО сети, имеют экспоненциальное распределение. Это позволяет считать, что этапы обслуживания независимы между собой и не зависят ни от параметров входящего потока, ни от состояния сети, ни от маршрутов следования требований.

Теория экспоненциальных СеМО наиболее разработана, и ее широко применяют как для исследования сетей ПД так и для исследования мультипроцессорных вычислительных систем (ВС). Разработаны практические формулы расчета вероятностно-временных характеристик (ВВХ) таких сетей и систем.

Попытки глубокого анализа немарковских моделей сетевых систем наталкиваются на значительные трудности, которые обусловлены в частности отсутствием независимости длительностей пребывания требований в различных узлах моделей сетевых систем с нестандартными дисциплинами. Так, например, при достаточно реалистическом предположении о том, что длина требования остается постоянной в процессе его передачи через узлы сети, необходимо прослеживать путь каждого требования, что делает невозможным аналитический расчет характеристики для сети с числом узлов М>2.

Анализ работ, посвященных исследованию или расчету немарковских моделей, показывает, что решения, как правило, получены алгоритмически путем сложных численных расчетов с использованием преобразований Лапласа-Стилтьеса, реализуются программно, отличаются большой трудоемкостью, либо значительными погрешностями в оценке показателей производительности информационных систем (ИС) в области средней и большой нагрузки. Поэтому для моделирования СеМО, выходящих из класса мультипликативных, используют приближенные методы.

Сравнительный анализ приближенных методов моделирования СеМО и примеры, приведенные в показывают, что пользоваться приближенными методами расчета СеМО необходимо с большой осторожностью, что при расчете конкретных СеМО, в процессе решения различных прикладных задач представляется необходимым проведение исследований в целях оценки точности и чувствительности применяемого метода, а также проведение эксперимента по имитационному моделированию исходной СеМО для достаточно большого множества значений варьируемых параметров.

Аналитические методы расчета характеристик ИС базируются, как правило, на анализе экспоненциальных СеMO. При использовании этого математического аппарата удается получить аналитические модели для решения широкого круга задач исследования систем. CеМО − это, прежде всего, совокупность взаимосвязанных систем массового обслуживания. Поэтому необходимо вспомнить основные особенности этих систем.

Сеть массового обслуживания представляет собой совокупность конечного числа N обслуживающих узлов, в которой циркулируют заявки, переходящие в соответствии с маршрутной матрицей из одного узла в другой. Узел всегда является разомкнутой СМО (причем СМО может быть любого класса). При этом отдельные СМО отображают функционально самостоятельные части реальной системы, связи между СМО - структуру системы, а требования, циркулирующие по СеМО, - составляющие материальных потоков (сообщения (пакеты) в коммуникационной сети, задания в мультипроцессорных системах, контейнеры грузопотоков и т.п.).

Для наглядного представления СеМО используется граф, вершины которого (узлы) соответствуют отдельным СМО , а дуги отображают связи между узлами.

Переход заявок между узлами происходит мгновенно в соответствии с переходными вероятностями , p ij - вероятность того, что заявка после обслуживания в узле i перейдет в узел j . Естественно, если узлы непосредственно не связаны между собой, то p ij = 0. Если из i- го узла переход только в один какой-либо узел j , то p ij = 1.

СеМО классифицируют по нескольким признакам (рис. 4).

Сеть называется линейной , если интенсивности потоков заявок в узлах связаны между собой линейной зависимостью

l j = a ij l i ,

где a ij - коэффициент пропорциональности, или относительно источника

l j = a j l 0 ,.

Коэффициент a j называют коэффициентом передачи, он характеризует долю заявок, поступающих в j- й узел от источника заявок, либо - среднее число прохождений заявкой через данный узел за время нахождения заявки в сети.

Если интенсивности потоков заявок в узлах сети связаны нелинейной зависимостью (например, ), то сеть называется нелинейной ..

Сеть всегда линейна, если в ней заявки не теряются и не размножаются.

Разомкнутая сеть – это такая отрытая сеть, в которую заявки поступают из внешней среды и уходят после обслуживания из сети во внешнюю среду. Другими словами, особенностью разомкнутой СеМО (РСеМО) является наличие одного или нескольких независимых внешних источников, которые генерируют заявки, поступающие в сеть, независимо от того, сколько заявок уже находится в сети. В любой момент времени в РСеМО может находиться произвольное число заявок (от 0 до ¥).

Рис. 4. Классификация сетей массового обслуживания

В замкнутой СеМО (ЗСеМО) циркулирует фиксированное число заявок, а внешний независимый источник отсутствует. Исходя из физических соображений, в ЗСеМ О выбирается внешняя дуга, на которой отмечается псевдонулевая точка, относительно которой могут измеряться временные характеристики.

Комбинированная сеть – это сеть, в которой постоянно циркулирует определенное число заявок и есть заявки, поступающие от внешних независимых источников.

В однородной сети циркулируют заявки одного класса. И, наоборот, в неоднородной сети могут присутствовать заявки нескольких классов. Заявки относятся к разным классам, если они различаются хотя бы одним из следующих атрибутов:

Законом распределения длительности обслуживания в узлах;

Приоритетами;

Маршрутами (путями движения заявок в сети).

В экспоненциальной сети длительности обслуживания во всех узлах распределены по экспоненциальному закону, и потоки, поступающие в разомкнутую сеть, простейшие (пуассоновские). Во всех остальных случаях сеть является неэкспоненциальной.

Если хотя бы в одном узле осуществляется приоритетное обслуживание, то это – приоритетная сеть. Приоритет – это признак, определяющий очередность обслуживания. Если обслуживание заявок в узлах осуществляется в порядке поступления, то такая сеть бесприоритетная.

Таким образом, экспоненциальной будем называть СеМО , отвечающую требованиям:

Входные потоки СеМО пуассоновские;

Во всех N СМО время обслуживания заявок имеет экспоненциальную функцию распределения вероятностей, и заявки обслуживаются в порядке прихода;

Переход заявки с выхода i -й СМО на вход j -й является независимым случайным событием, имеющим вероятность p ij ; p i0 - вероятность ухода заявки из CeМО.

Если заявки приходят в сеть и уходят из нее, то сеть называется разомкнутой. Если заявки не приходят в сеть и из нее не уходят, сеть называется замкнутой. Число заявок в замкнутой сети постоянное.