Задача 14. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000000 руб., 10 выигрышей по 100000 руб. и 100 выигрышей по 1000 руб. при общем числе билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

Решение . Возможные значения для Х : х 1 = 0; х 2 = 1000; х 3 = 100000;

х 4 = 1000000. Вероятности их соответственно равны: р 2 = 0,01; р 3 = 0,001; р 4 = 0,0001; р 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Следовательно, закон распределения выигрыша Х может быть задан следующей таблицей:

Задача 15 . Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Построить многоугольник распределения.

Решение . Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения х i , а по оси ординат – соответствующие вероятности р i . Построим точки М 1 (1;0,2), М 2 (3;0,1), М 3 (6;0,4) и М 4 (8;0,3). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения.

§2. Числовые характеристики случайных величин

Случайная величина полностью характеризуется своим законом распределения. Осредненное описание случайной величины можно получить при использовании ее числовых характеристик

2.1. Математическое ожидание. Дисперсия.

Пусть случайная величина может принимать значения с вероятностями соответственно .

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величинаы называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:

Свойства математического ожидания.

Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для вычислений используется следующая формула

Свойства дисперсии.

2. , где взаимно независимые случайные величины.

3. Среднеквадратическое отклонение .

Задача 16. Найти математическое ожидание случайной величины Z = X+ 2Y , если известны математические ожидания случайных величин X и Y : М (Х ) = 5, М (Y ) = 3.

Решение . Используем свойства математического ожидания. Тогда получаем:

М (Х+ 2Y ) = М (Х ) + М (2Y ) = М (Х ) + 2М (Y ) = 5 + 2 . 3 = 11.

Задача 17. Дисперсия случайной величины Х равна 3. Найти дисперсию случайных величин: а) –3Х; б) 4Х + 3.

Решение . Применим свойства 3, 4 и 2 дисперсии. Имеем:

а) D (–3Х ) = (–3) 2 D (Х ) = 9 D (Х ) = 9 . 3 = 27;

б) D (4 Х + 3) = D (4Х ) + D (3) = 16D (Х ) + 0 = 16 . 3 = 48.

Задача 18. Дана независимая случайная величина Y – число очков, выпавших при бросании игральной кости. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Y .

Решение. Таблица распределения случайной величины Y имеет вид:

Тогда М (Y ) = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + 3 · 1/6+ 4 · 1/6+ 5 · 1/6+ 6 · 1/6 = 3,5;

D (Y ) = (1 – 3,5) 2 · 1/6 +(2 – 3,5) 2 · /6 + (3 – 3,5) 2 · 1/6 + (4 – 3,5) 2 · /6 +(5 – –3,5) 2 · 1/6 + (6 – 3,5) 2. · 1/6 = 2,917; σ (Y ) =Ö 2,917 = 1,708.

Дискретной называют случайную величину, которая может принимать отдельные, изолированные значения с определенными вероятностями.

ПРИМЕР 1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, их вероятности равны соответственно:

Р(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

ПРИМЕР 2. Число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов. Возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5; их вероятности зависят от надежности каждого из элементов.

Дискретная случайная величина Х может быть задана рядом распределения или функцией распределения (интегральным законом распределения).

Рядом распределения называется совокупность всех возможных значений х i и соответствующих им вероятностей р i = Р ( Х = х i ), он может быть задан в виде таблицы:

х i				х n
р i				р n

При этом вероятности р i удовлетворяют условию

р i = 1 , потому, что

где число возможных значений n может быть конечным или бесконечным.

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения . Для его построения возможные значения случайной величины (х i ) откладываются по оси абсцисс, а вероятности р i - по оси ординат; точки А i c координатами ( х i ,р i ) соединяются ломаными линиями.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F (х ), значение которой в точке х равно вероятности того, что случайная величина Х будет меньше этого значения х , то есть

F (х) = Р (Х< х).

ФункцияF (х ) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле

F (х)= р i , (1.10.1)

где суммирование ведется по всем значениям i , для которых х i < х.

ПРИМЕР 3. Из партии, содержащей 100 изделий, среди которых имеется 10 дефектных, выбраны случайным образом пять изделий для проверки их качества. Построить ряд распределений случайного числа Х дефектных изделий, содержащихся в выборке.

Решение . Так как в выборке число дефектных изделий может быть любым целым числом в пределах от 0 до 5 включительно, то возможные значения х i случайной величины Х равны:

х 1 = 0, х 2 = 1, х 3 = 2, х 4 = 3, х 5 = 4, х 6 = 5.

Вероятность Р (Х = k ) того, что в выборке окажется ровно k (k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) дефектных изделий, равна

Р (Х = k ) = .

В результате расчетов по данной формуле с точностью 0,001 получим:

р 1 = Р (Х = 0) @ 0,583; р 2 = Р (Х = 1) @ 0,340; р 3 = Р (Х = 2) @ 0,070;

р 4 = Р (Х = 3) @ 0,007; р 5 = Р (Х = 4) @ 0; р 6 = Р (Х = 5) @ 0.

Используя для проверки равенство р k =1, убеждаемся, что расчеты и округление произведены правильно (см. табл.).

х i
р i

ПРИМЕР 4. Дан ряд распределения случайной величины Х :

х i
р i

Найти функцию распределения вероятности F (х ) этой случайной величины и построить ее.

Решение . Если х £ 10, то F ( х ) = Р (Х < х ) = 0;

если 10 < х £ 20 , то F ( х ) = Р (Х <х ) = 0,2 ;

если 20 < х £ 30 , то F ( х ) = Р ( Х < х ) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

если 30 < х £ 40 , то F ( х ) = Р (Х < х ) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

если 40 < х £ 50 , то F ( х ) = Р (Х < х ) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

если х > 50 , то F ( х ) = Р ( Х < х ) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

2.1. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты

2.2. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность

2.3. Геометрические вероятности

2.4. Теорема сложения вероятностей

2.5. Полная группа событий

2.6. Противоположные события

2.7. Принцип практической невозможности маловероятных событий

2.8. Произведение событий. Условная вероятность

2.9. Теорема умножения вероятностей

2.10. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий

2.10. Вероятность появления хотя бы одного события

Лекция №3 следствия теорем сложения и умножения

3.1. Теорема сложения вероятностей совместных событий

3.2. Формула полной вероятности

3.3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса

4. Повторение испытаний

4.1. Формула Бернулли

4.2. Предельные теоремы в схеме Бернулли

4.3. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

4.3. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях

5. Случайные величины

5.1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины

5.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения

5.3. Биномиальное распределение

5.4. Распределение Пуассона

5.5. Геометрическое распределение

5.6. Гипергеометрическое распределение

6. Математическое ожидание дискретной случайной величины

6.1. Числовые характеристики дискретных случайных величин

6.2. Математическое ожидание дискретной случайной величины

6.3. Вероятностный смысл математического ожидания

6.4. Свойства математического ожидания

6.5. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях

7. Дисперсия дискретной случайной величины

7.1. Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины

7.2. Отклонение случайной величины от ее математического ожидания

7.3. Дисперсия дискретной случайной величины

7.4. Формула для вычисления дисперсии

7.5. Свойства дисперсии

7.6. Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

7.7. Среднее квадратическое отклонение

7.8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

7.9. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

7.10. Начальные и центральные теоретические моменты

8. Закон больших чисел

8.1. Предварительные замечания

8.2. Неравенство Чебышева

8.3. Теорема Чебышева

8.4. Сущность теоремы Чебышева

8.5. Значение теоремы Чебышева для практики

8.6. Теорема Бернулли

Функция распределения вероятностей случайной величины

9.1. Определение функции распределения

9.2. Свойства функции распределения

9.3. График функции распределения

10. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

10.1. Определение плотности распределения

10.2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

10.3. Закон равномерного распределения вероятностей

11. Нормальное распределение

11.1. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

11.2. Нормальное распределение

11.3. Нормальная кривая

11.4. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой

11.5. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины

11.6. Вычисление вероятности заданного отклонения

11.7. Правило трех сигм

11.8. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы

11.9. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс

11.10. Функция одного случайного аргумента и ее распределение

11.11. Математическое ожидание функции одного случайного аргумента

11.12. Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения

11.13. Распределение «хи квадрат»

11.14. Распределение Стьюдента

11.15. Распределение f Фишера – Снедекора

12. Показательное распределение

12.1. Определение показательного распределения

12.2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины

§ 3. Числовые характеристики показательного распределения

12.4. Функция надежности

12.5. Показательный закон надежности

12.6. Характеристическое свойство показательного закона надежности

5.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения

На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их – различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Определение. Любое правило (таблица, функция, график), позволяюшее находить вероятности произвольных событий A S (S – -алгебра событий пространства ), в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (или просто: распределением ). Про с.в. говорят, что «она подчиняется данному закону распределения».

Пусть Х – д.с.в., которая принимает значения х 1 , х 2 , …, x n ,… (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероятностью p i , где i = 1,2,…, n ,… Закон распределения д.с.в. удобно задавать с помощью формулы p i = P {X = x i }где i = 1,2,…, n ,…, определяющей вероятность того, что в результате опыта с.в. Х примет значение x i . Для д.с.в. Х закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения :

				x n
				р n

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности. такую таблицу называют рядом распределения .

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает- одно и только одно возможное значение, заключаем, что события X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x n образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т.е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице, то есть .

Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд р 1 + р 2 + ... сходится и его сумма равна единице.

Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины X – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения X : х 1 = 50, х 2 = 1, х 3 = 0. Вероятности этих возможных значений таковы: р 1 = 0,01, р 2 = 0,01, р 3 = 1 – (р 1 + р 2)=0,89.

Напишем искомый закон распределения:

Контроль: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.

Пример. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные – черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.

Решение. Возможные значения с.в. Х – числа белых шаров в выборке есть х 1 = 0, х 2 = 1, х 3 = 2, х 4 = 3. Вероятности их соответственно будут

;
;
.

Закон распределения запишем в виде таблицы.

Контроль:
.

Закон распределения д.с.в. можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения с.в., а на оси ординат – вероятности этих значений. ломаную, соединяющую последовательно точки (х 1 , р 1), (х 2 , р 2),… называют многоугольником (или полигоном ) распределения (см. рис. 5.1).

Рис. 5.1. Полигон распределения

Теперь можно дать более точное определение д.с.в.

Определение. Случайная величина Х дискретна , если существует конечное или счетное множество чисел х 1 , х 2 , … таких, что P {X = x i } = p i > 0 (i = 1,2,…) и p 1 + p 2 + р 3 +… = 1.

Определим математические операции над дискретными с.в.

Определение. Суммой (разностью , произведением ) д.с.в. Х , принимающей значения x i с вероятностями p i = P {X = x i }, i = 1, 2, …, n , и д.с.в. Y , принимающей значения y j с вероятностями p j = P {Y = y j }, j = 1, 2, …, m , называется д.с.в. Z = X + Y (Z = X – Y , Z = X  Y ), принимающая значения z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i  y j ) с вероятностями p ij = P {X = x i , Y = y j } для всех указанных значений i и j . В случае совпадения некоторых сумм x i + y j (разностей x i – y j , произведений x i  y j )соответствующие вероятности складываются.

Определение. Произведение д.с.в. на число с называется д.с.в. сХ , принимающая значения с x i с вероятностями p i = P {X = x i }.

Определение. Две д.с.в. Х и Y называются независимыми , если события {X = x i } = A i и {Y = y j } = B j независимы для любых i = 1, 2, …, n , j = 1, 2, …, m , то есть

В противном случае с.в. называют зависимыми . Несколько с.в. называют взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Рассмотрим несколько наиболее часто употребляемых законов распределения.

Случайная величина – это величина, которая в результате опыта принимает заранее неизвестное значение.

Количество студентов, присутствующих на лекции.

Количество домов, сданных в эксплуатацию в текущем месяце.

Температура окружающей среды.

Вес осколка разорвавшегося снаряда.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или счетным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

В приведенных примерах: 1 и 2 – дискретные случайные величины, 3 и 4 – непрерывные случайные величины.

В дальнейшем, вместо слов «случайная величина» часто будем пользоваться сокращением с. в.

Как правило, случайные величины будем обозначать большими буквами, а их возможные значения – маленькими.

В теоретико-множественной трактовке основных понятий теории вероятностей случайная величина Х есть функция элементарного события: Х =φ(ω), где ω – элементарное событие принадлежащее пространству Ω (ω  Ω). При этом множество Ξ возможных значений с. в. Х состоит из всех значений, которые принимает функция φ(ω).

Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет какое-то значение или попадет на какой-то интервал).

Формы задания законов распределения случайных величин. Ряд распределения.

Это таблица в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины Х: х 1 , х 2 , ..., х n , а в нижней – вероятности этих значений: p 1 , p 2 , ..., p n , где p i = Р{Х = x i }.

Так как события {Х = x 1 }, {Х = x 2 }, ... несовместны и образуют полную группу, то сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке ряда распределения, равна единице

Ряд распеделения используется для задания закона распределения только дискретных случайных величин.

Многоугольник распределения

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Строится он так: для каждого возможного значения с. в. восстанавливается перпендикуляр к оси абсцисс, на котором откладывается вероятность данного значения с. в. Полученные точки для наглядности (и только для наглядности!) соединяются отрезками прямых.

Интегральная функция распределения (или просто функция распределения).

Это функция, которая при каждом значении аргумента х численно равна вероятности того, что случайная величина  окажется меньше, чем значение аргумента х.

Функция распределения обозначается F(x): F(x) = P {X  x}.

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Функция распределения – это наиболее универсальная форма задания с. в., которая может использоваться для задания законов распределения как дискретных, так и непрерывных с. в.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, не известное заранее. Случайные величины бывают прерывного (дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения прерывных величин заранее могут быть перечислены. Возможные значения непрерывных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.

Пример дискретных случайных величин:

1) Число появления герба при трех бросаниях монеты. (возможны значения 0;1;2;3)

2) Частота появления герба в том же опыте. (возможные значения )

3) Число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов. (Возможные значения величин 0;1;2;3;4;5)

Примеры непрерывных случайных величин:

1) Абсцисса (ордината) точки попадания при выстреле.

2) Расстояние от точки попадания до центра мишени.

3) Время безотказной работы прибора (радиолампы).

Случайны величины обозначаются большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами. Например, X – число попаданий при трех выстрелах; возможные значения: X 1 =0,Х 2 =1, Х 3 =2, Х 4 =3.

Рассмотрим прерывную случайную величину Х с возможными значениями Х 1 , Х 2 , … , Х n . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, то есть произойдет одно из полной группы несовместных событий.

Обозначим вероятности этих событий буквами p с соответствующими индексами:

Так как несовместные события образуют полную группу, то

то есть сумма вероятности всех возможных значений случайной величины равна 1. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, то есть в точности укажем какой вероятностью обладает каждое из событий. (Этим мы установим так называемый закон распределения случайных величин.)

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующей им вероятности. (Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения)

Простейшей формой задания закона распределения случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

Таблица 1.

X i	X 1	X 2	…	X n
P i	P 1	P 2	…	P n

Такую таблицу называют рядом распределения случайных величин.

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. (Для наглядности полученные точки соединяют отрезками прямых.)

Рисунок 1 – многоугольник распределения

Такая фигура называется многоугольником распределения . Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения.

Пример:

производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие А. Вероятность события А=0,3. Рассматривается случайная величина Х – число появлений события А в данном опыте. Необходимо построить ряд и многоугольник распределения величины Х.

Таблица 2.

X i
P i	0,7	0,3

Рисунок 2 - Функция распределения

Функция распределения является универсальной характеристикой случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и не прерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, то есть является одной из форм закона распределения.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события X=x, а вероятностью события X

Функцию распределения F(x) иногда также называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Свойства функции распределения случайной величины

1. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, то есть при ;

2. На минус бесконечности :

3. На плюс бесконечности :

Рисунок 3 – график функции распределения

График функции распределения в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1.

Зная ряд распределения случайной величины, можно построить функцию распределения случайной величины.

Пример:

для условий предыдущего примера построить функцию распределения случайной величины.

Построим функцию распределения X:

Рисунок 4 – функция распределения Х

Функция распределения любой прерывной дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции распределения равна 1 .

По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними, число скачков становится больше, а сами скачки – меньше:

Рисунок 5

Ступенчатая кривая становится более плавной:

Рисунок 6

Случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения к непрерывной функции. Также существуют случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной. И в отдельных точках терпит разрыв. Такие случайные величины называются смешенными.

Рисунок 7