Расчет погрешностей непосредственных измерений. Относительная и абсолютная погрешность: понятие, расчет и свойства

Пусть измеряемая имеет известное значение величина X . Естественно, отдельные, найденные в процессе измерения значения этой величины x 1 , x 2 ,… xn заведомо не вполне точны, т.е. не совпадают с X . Тогда величина
будет являться абсолютной погрешностью i -го измерения. Но поскольку истинное значение результата X , как правило, не известно, то реальную оценку абсолютной погрешности используя вместо X среднее арифметическое
, которое рассчитывают по формуле:

Однако при малых объемах выборки вместо
предпочтительнее пользоваться медианой . Медианой (Ме) называют такое значение случайной величины х, при котором половина результатов имеет значение меньшее, а другая ­большее, чем Ме . Для вычисления Ме результаты располагают в порядке возрастания, то есть образуют так называемый вариационный ряд. Для нечетного количества измерений n мeдиана равна значению среднего члена ряда. Например,
для n=3

Для четных n, значение Ме равно полусумме значений двух средних результатов. Например,
для n=4

Для расчета s пользуются неокругленными результатами анализа с неточным последним десятичным знаком.
При очень большом числе выборки (n >
) случайные погрешности могут быть описаны при помощи нормального закона распределения Гаусса. При малых n распределение может отличаться от нормального. В математической статистике эта дополнительная ненадежность устраняется модифицированным симметричным t -распределением. Существует некоторый коэффициент t , называемый коэффициентом Стьюдента, который в зависимости от числа степеней свободы (f ) и доверительной вероятности (Р ) позволяет перейти от выборки к генеральной совокупности.
Стандартное отклонение среднего результата
определяется по формуле:

Величина

является доверительным интервалом среднего значения
. Для серийных анализов обычно полагают Р = 0,95.

Таблица 1. значения коэффициента Стьюдента (t )

f

Пример 1. Из десяти определений содержания марганца в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Решение. По формуле (1) подсчитывают среднее значение анализа

По табл. 1 (приложение) находят для f=n-1=9 коэффициент Стьюдента (Р=0,95) t =2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения. Таким образом, среднее значение анализа определяется интервалом (0,679 ± 0,009) % Мn.

Пример 2. Среднее из девяти измерений давления паров воды над раствором карбамида при 20°С равно 2,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,04 кПа. Определить ширину доверительного интервала для среднего из девяти и единичного измерения, отвечающего 95 % - й доверительной вероятности.
Решение. КоэффициентСтьюдента t для доверительной вероятности 0,95 и f = 8 равен 2,31. Учитывая, что

и
, найдем:

- ширина доверит. интервала для среднего значения

- ширина доверит. интервала для единичного измерения значения

Если же имеются результаты анализа образцов с различным содержанием, то из частных средних s путем усреднения можно вычислить общее среднее значение s . Имея m проб и для каждой пробы проводя nj параллельных определений, результаты представляют в виде таблицы:

Номер образца	Номер анализа

Средняя погрешность рассчитывают из уравнения:

со степенями свободыf = n – m , где n – общее число определений, n = m . n j .

Пример 2. Вычислить среднюю ошибку определения марганца в пяти пробах стали с различным содержанием его. Значения анализа, % Mn:
1. 0,31; 0,30; 0,29; 0,32.
2. 0,51; 0,57; 0,58; 0,57.
3. 0,71; 0,69; 0,71; 0,71.
4. 0,92; 0,92; 0,95; 0,95.
5. 1,18; 1,17; 1,21; 1,19.
Решение. По формуле (1) находят средние значения в каждой пробе, затем для каждой пробы рассчитывают квадраты разностей, по формуле (5) - погрешность.
1)
= (0,31 + 0,30 + 0,29 + 0,32)/4 = 0,305.
2)
= (0,51 + 0,57 + 0,58 + 0,57)/4 = 0,578.
3)
= (0,71+ 0,69 + 0,71 + 0,71)/4 = 0,705.
4)
= (0,92+0,92+0,95+0,95)/4 =0,935.
5)
= (1,18 + 1,17 + 1, 21 + 1,19)/4 = 1,19.

Значения квадратов разностей
1) 0,0052 +0,0052 +0,0152 +0,0152 =0,500.10 -3 .
2) 0,0122 +0,0082 +0,0022 +0,0082 =0,276.10 -3 .
3) 0,0052 + 0,0152 + 0,0052 + 0,0052 = 0,300.10 -3 .
4) 0,0152+ 0,0152 + 0,0152 + 0,0152 = 0,900.10 -3 .
5) 0,012 +0,022 +0,022 + 02 = 0,900.10 -3 .
Средняя погрешность для f = 4,5 – 5 = 15

s = 0,014 % (абс. при f =15 степеням свободы).

Когда проводят по два параллельных определения для каждого образца и находят значения х" и х" , для образцов уравнение преобразуется в выражение.

В этой теме буду писать что-то вроде краткой шпаргалки по погрешностям. Опять же, данный текст ни в коей мере не официальный и ссылаться на него недопустимо. Буду признателен за исправление любых ошибок и неточностей, которые могут быть в этом тексте.

Что такое погрешность?

Запись результата эксперимента вида () означает, что если мы проведем очень много идентичных экспериментов, то в 70% полученные результаты будут лежать в интервале , а в 30% - не будут.

Или, что тоже самое, если мы повторим эксперимент, то новый результат ляжет в доверительный интервал с вероятностью, равной доверительной вероятности .

Как округлять погрешность и результат?

Погрешность округляется до первой значащей цифры , если она не единица. Если единица - то до двух. При этом значащей цифрой называется любая цифра результата кроме нулей впереди.

Округляем до или или но ни в коем случае не или , поскольку тут 2 значащие цифры - 2 и 0 после двойки.

Округляем до или

Округляем до или или

Результат округляем таким образом, чтобы последняя значащая цифра результата соответствовала последней значащей цифре погрешности .

Примеры правильной записи :

мм

Мм Держим тут в погрешности 2 значащие цифры потому что первая значащая цифра в погрешности - единица.

мм

Примеры неправильной записи :

Мм. Здесь лишний знак в результате . Правильно будет мм.

мм. Здесь лишний знак и в погрешности, и в результате. Правильно будет мм.

В работе использую значение, данное мне просто в виде цифры. Например, масса грузиков. Какая у нее погрешность?

Если погрешность явно не указана, можно взять единицу в последнем разряде. То есть если написано m=1.35 г, то в качестве погрешность нужно взять 0.01 г.

Есть функция от нескольких величин У каждой из этих величин есть своя погрешность. Чтобы найти погрешность функции надо сделать следующее:

Символ означает частную производную f по x. Подробнее про частные производные .

Положим, вы меряли одну и ту же величину x несколько (n) раз. Получили набор значений.. Вам необходимо посчитать погрешность разброса, посчитать приборную погрешность и сложить их вместе.

По пунктам.

1. Считаем погрешность разброса

Если все значения совпали - никакого разброса у вас нет. Иначе - есть погрешность разброса , которую надо вычислить. Для начала вычисляется среднеквадратичная погрешность среднего:

Здесь означает среднее по всем .
Погрешность разброса получается умножением среднеквадратичной погрешности среднего на коэффициент Стьюдента , который зависит от выбранной вами доверительной вероятности и числа измерений n :

Коэффициенты Стьюдента берем из нижеприведенной таблицы. Доверительная вероятность выбитается произвольно, число измерений n мы также знаем.

2. Считаем приборную погрешность среднего

Если погрешности разных точек разные, то по формуле

При этом естественно, у всех доверительная вероятность должна быть одинаковой.

3. Складываем среднее с разбросом

Погрешности всегда складываются как корень из квадратов:

При этом нужно убедиться, что доверительные вероятности с которыми были вычислены и совпадают.

Как по графику определить приборную погрешность среднего? Ну т.е., используя метод парных точек или метод наименьших квадратов, мы найдем погрешность разброса среднего сопротивления. Как найти приборную погрешность среднего сопротивления?

И в МНК и в методе парных точек можно дать строгий ответ на этот вопрос. Для МНК форума в Светозарове есть ("Основы...", раздел про метод наименьших квадратов), а для парных точек первое, что приходит в голову (в лоб, что называется) это посчитать приборную погрешность каждого углового коэффициента. Ну и далее по всем пунктам...

Если же не хочешь мучиться, то в лабниках дан простой способ для оценки приборной погрешности углового коэффициента, именно из МНК следующий (например перед работой 1 в лабнике "Электроизмерительные приборы. ..." последняя страница Метод.рекомендаций).

Где - величина максимального отклонения по оси Y точки с погрешностью от проведенной прямой, а в знаменателе стоит ширина области нашего графика по оси Y. Аналогично по оси X.

На магазине сопротивлений написан класс точности: 0,05/4*10^-6? Как из этого найти погрешность прибора?

Это означает, что предельная относительная погрешность прибора (в процентах) имеет вид:
, где
- наибольшее значение сопротивления магазина, а - номинальное значение включённого сопротивления.
Легко видеть, что второе слагаемое важно тогда, когда мы работаем на очень малых сопротивлениях.

Подробнее всегда можно посмотреть в паспорте прибора. Паспорт можно найти в интернете, забив марку прибора в гугл.

Литература про погрешности

Гораздо больше информации по этому поводу можно найти в рекомендованной для первокурсников книге:
В.В. Светозаров "Элементарная обработка результатов измерений"

В качестве дополнительной (для первокурсников дополнительной) литературы можно порекомендовать:
В.В.Светозаров "Основы статистической обработки результатов измерений"

И уж тем кто хочет окончательно во всем разобраться непременно стоит заглянуть сюда:
Дж. Тейлор. "Введение в теорию ошибок"

Спасибо "у за нахождение и размещение у себя на сайте этих замечательных книжек.

3.1 Среднеарифметическая погрешность. Как уже отмечалось раньше, измерения принципиально не могут быть абсолютно точными. Поэтому в ходе измерения возникает задача об определении интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Такой интервал указывают в виде абсолютной ошибки измерения.

Если предположить, что грубые промахи в измерениях устранены, а систематические ошибки сведены к минимуму тщательной настройкой приборов и всей установки и не являются определяющими, то результаты измерений будут, в основном, содержать только случайные погрешности, которые являются знакопеременными величинами. Поэтому, если проведено несколько повторных измерений одной и той же величины, то наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднеарифметическое значение:

Средней абсолютной ошибкой называется среднеарифметическое модулей абсолютных ошибок отдельных измерений:

Последнее неравенство обычно принято записывать как окончательный результат измерения следующим образом:

(5)

где абсолютная погрешность a ср должна вычисляться (округляться) с точностью до одной-двух значащих цифр. Абсолютная ошибка показывает, в каком знаке числа содержатся неточности, поэтому в выражении для а ср оставляют все верные цифры и одну сомнительную. То есть среднее значение и средняя ошибка измеряемой величины должны вычисляться до цифры одного и того же разряда. Например: g = (9,78 ± 0,24) м/с 2 .

Относительная погрешность. Абсолютная ошибка определяет интервал наиболее вероятных значений измеряемой величины, но не характеризует степень точности произведенных измерений. Например, расстояние между населенными пунктами, измеренное с точностью до нескольких метров, можно отнести к весьма точным измерениям, в то время как измерение диаметра проволоки с точностью до 1 мм, в большинстве случаев будет являться весьма приближенным измерением.

Степень точности проведенных измерений характеризует относительная погрешность.

Средней относительной погрешностью или просто относительной ошибкой измерения называется отношение средней абсолютной ошибки измерения к среднему значению измеряемой величины:

Относительная ошибка является безразмерной величиной и обычно выражается в процентах.

3.2 Погрешность метода или приборная погрешность. Среднеарифметическое значение измеряемой величины тем ближе к истинному, чем больше проведено измерений, при этом абсолютная погрешность измерения с увеличением их числа стремится к значению, которое определяется методом измерения и техническими характеристиками используемых приборов.

Погрешность метода или приборную погрешность можно рассчитать по одноразовому измерению, зная класс точности прибора или другие данные технического паспорта прибора, в котором указывается либо класс точности прибора, либо его абсолютная или относительная погрешность измерения.

Класс точности прибора выражает в процентах номинальную относительную ошибку прибора, то есть относительную ошибку измерения, когда измеряемая величина равна предельному для данного прибора значению

Абсолютная погрешность прибора не зависит от значения измеряемой величины.

Относительная погрешность прибора (по определению):

(10)

откуда видно, что относительная приборная ошибка тем меньше, чем ближе значение измеряемой величины к пределу измерения данного прибора. Поэтому ре­комендуется подбирать приборы так, чтобы измеряемая величина составляла 60 -90% от величины, на которую рассчитан прибор. При работе с многопредельными приборами тоже следует стремиться к тому, чтобы отсчет производился во второй половине шкалы.

При работе с простыми приборами (линейка, мензурка и т.п.), классы точности и погрешности которых не определены техническими характеристиками, абсолютную погрешность прямых измерений принимают равной половине цены деления данного прибора. (Ценой деления называют значение измеряемой величины при показаниях прибора в одно деление).

Приборную погрешность косвенных измерений можно рассчитать, используя правила приближенных вычислений. В основе вычисления погрешности косвенных измерений лежат два условия (предположения):

1. Абсолютные ошибки измерений всегда очень малы по сравнению с измеряемыми величинами. Поэтому абсолютные ошибки (в теории) можно рассматривать как бесконечно малые приращения измеряемых величин, и они могут быть заменены соответствующими дифференциалами.

2. Если физическая величина, которую определяют косвенным путем, является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин, то абсолютная ошибка функции, обусловленная бесконечно малыми приращениями, является также бесконечно малой величиной.

При указанных допущениях абсолютную и относительную погрешность можно рассчитать, используя известные выражения из теории дифференциального исчисления функций многих переменных:

	(11)
	(12)

Абсолютные ошибки непосредственных измерений могут иметь знаки "плюс" или "минус", но какой именно - неизвестно. Поэтому при определении погрешностей рассматривается наиболее невыгодный случай, когда ошибки прямых изме­рений отдельных величин имеют один и тот же знак, то есть абсолютная ошибка имеет максимальное значение. Поэтому при расчете приращений функции f(x 1 ,x 2 ,…,х n) по формулам (11) и (12) частные приращения должны складываться по абсолютной величине. Таким образом, используя приближение Dх i ≈ dx i , и вы­ражения (11) и (12), для бесконечно малых приращений Dа можно записать:

	(13)
	(14)

Здесь: а - косвенно измеряемая физическая величина, то есть определяемая по расчетной формуле, Dа - абсолютная ошибка ее измерения, х 1 , х 2 ,...х n ; Dх 1, Dx 2 ,..., Dх n , - физические величины прямых измерений и их абсолютные ошибки соответственно.

Таким образом: а) абсолютная ошибка косвенного метода измерения равна сумме модулей произведений частных производных функции измерения и соответствующих абсолютных ошибок прямых измерений; б) относительная ошибка косвенного метода измерения равна сумме модулей дифференциалов от логарифма натурального функции измерения, определяемой расчетной формулой.

Выражения (13) и (14) позволяют рассчитать абсолютные и относительные погрешности по одноразовому измерению. Заметим, что для сокращения расчетов по указанным формулам достаточно рассчитать одну из погрешностей (абсолютную или относительную), а другую рассчитать, используя простую связь между ними:

(15)

На практике чаще пользуются формулой (13), так как при логарифмировании расчетной формулы произведения различных величин преобразуются в соответствующие суммы, а степенные и показательные функции преобразуются в произведения, что намного упрощает процесс дифференцирования.

Для практического руководства по расчету погрешности косвенного метода измерения можно пользоваться следующим правилом:

Чтобы вычислить относительную ошибку косвенного метода измерения, нужно:

1. Определить абсолютные ошибки (приборные или средние) прямых измерений.

2. Прологарифмировать расчетную (рабочую) формулу.

3. Принимая величины прямых измерений за независимые переменные, найти полный дифференциал от полученного выражения.

4. Сложить все частные дифференциалы по абсолютной величине, заменив в них дифференциалы переменных соответствующими абсолютными ошибками прямых измерений.

Например, плотность тела цилиндрической формы вычисляется по формуле:

(16)

где m, D, h - измеряемые величины.

Получим формулу для расчета погрешностей.

1. Исходя из используемого оборудования, определяем абсолютные погрешности измерения массы, диаметра и высоты цилиндра (∆m, ∆D, ∆h соответственно).

2. Логарифмируем выражение (16):

3. Дифференцируем:

4. Заменяя дифференциал независимых переменных на абсолютные ошибки и складывая модули частных приращений, получаем:

5. Используя численные значения m, D, h, D, m, h , рассчитываем Е.

6. Вычисляем абсолютную ошибку

где r рассчитано по формуле (16).

Предлагаем самим убедиться, что в случае полого цилиндра или трубки с внутренним диаметром D 1 и внешним диаметром D 2

К расчету ошибки метода измерения (прямого или косвенного) приходится прибегать в случаях, когда многократные измерения либо невозможно провести в одних и тех же условиях, либо они занимают много времени.

Если определение погрешности измерения является принципиальной задачей, то обычно измерения проводят многократно и вычисляют и среднеарифметическую погрешность и погрешность метода (приборную погрешность). В окончательном результате указывают большую из них.

О точности вычислений

Ошибка результата определяется не только неточностями измерений но и неточностями вычислений. Вычисления необходимо проводить так, чтобы их ошибка была на порядок меньше ошибки результата измерений. Для этого вспомним правила математического действия с приближёнными числами.

Результаты измерений – приближённые числа. В приближённом числе все цифры должны быть верными. Последней верной цифрой приближённого числа считается такая цифра, ошибка в которой не превышает одной единицы её разряда. Все цифры от 1 до 9 и 0, если он стоит в середине или в конце числа, называются значащими. В числе 2330 - 4 значащих цифры, а в числе 6,1×10 2 – только две, в числе 0,0503 – три, так как нули слева от пятёрки незначащие. Запись числа 2,39 означает, что верны все знаки до второго после запятой, а запись в 1,2800 – что верно также и третий и четвёртый знаки. В числе 1,90 три значащих цифры и это значит, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые и сотые, а в числе 1,9 – только две значащих цифры и это значит, что мы учитывали целые и десятые и точность этого числа в 10 раз меньше.

Правила округления чисел

При округлении оставляют лишь верные знаки, остальные отбрасываются.

1. Округление достигается простым отбрасыванием цифр, если первая из отбрасываемых цифр меньше, чем 5.

2. Если первая из отбрасываемых цифр больше, чем 5, то последняя цифра увеличивается на единицу. Последняя цифра увеличивается также и в том случае, когда первая из отбрасываемых цифр 5, а за ней есть одна или несколько цифр, отличных от нуля.

Например, различные округления числа 35,856 будут: 35,9; 36.

3. Если отбрасываемая цифра 5, а за ней нет значащих цифр, то округление производится на ближайшее чётное число, то есть, последняя сохраняемая цифра остаётся неизменной, если она чётная и увеличивается на единицу, если она нечётная.

Например, 0,435 округляем до 0,44; 0,365 округляем до 0,36.

Пусть при измерениях систематические погрешности пренебрежимо малы. Рассмотрим случай, когда измерение проведено большое число раз (n→∞).

Как показывает опыт, отклонение результатов измерений от их среднего значения в большую или меньшую сторону одинаковы. Результаты измерений с малым отклонением от среднего значения наблюдается значительно чаще, чем с большими отклонениями.

Расположим все численные значения результатов измерений в ряд в порядке их возрастания и разделим этот ряд на равные интервалы
. Пусть– число измерений с результатом, попавшим в интервал [
]. Величина
есть вероятность ΔP i (х) получения результата со значением в интервале [
].

Графически представим
, соответствующее каждому интервалу [
] (рис.1). Изображенная на рис.1 ступенчатая кривая называется гистограммой. Допустим, что измерительный прибор обладает чрезвычайно высокой чувствительностью. Тогда ширину интервала можно сделать бесконечно малой величинойdx. Ступенчатая кривая в этом случае заменяется кривой, представляемой функцией φ(х) (рис.2). Функцию φ(х) принято называть функцией плотности распределения. Её смысл состоит в том, что произведение φ(х)dx есть вероятность dP(x) получения результатов со значением в интервале от х до х+dх. Графически значение вероятности представляется в виде площади заштрихованного прямоугольника. Аналитически функция плотности распределения записывается следующим образом:

. (5)

Представленную в виде (5) функцию φ(х) называют функцией Гаусса, а соответствующее распределение результатов измерений Гауссовым или нормальным.

Параметры
иσ имеют следующий смысл (рис.2).

–среднее значение результатов измерений. При
=
функция Гаусса достигает максимального значения. Если число измерений бесконечно велико, то
равно истинному значению измеряемой величины.

σ – характеризует степень разброса результатов измерения от их среднего значения. Параметр σ вычисляется по формуле:

. (6)

Этот параметр представляет собой среднеквадратичную погрешность. Величину σ 2 в теории вероятностей называют дисперсией функции φ(х).

Чем выше точность измерений, тем ближе располагаются результаты измерений к истинному значению измеряемой величины, и, следовательно, меньше σ.

Вид функции φ(х), очевидно, не зависит от числа измерений.

В теории вероятностей показано, что 68% всех измерений дадут результат, который располагается в интервале , 95% – в интервале и 99,7% в интервале .

Таким образом, с вероятностью (надёжностью) 68% величина отклонения результата измерения от среднего значения лежит в интервале [
], с вероятностью (надёжностью) 95% – в интервале [
] и с вероятностью (надежностью) 99,7% – в интервале [
].

Интервал, соответствующий той или иной вероятности отклонения от среднего значения, называется доверительным.

В реальных экспериментах число измерений, очевидно, не может быть бесконечно большим, поэтому маловероятно, чтобы
совпало с истинным значением измеряемой величины
. В связи с этим важно оценить на основе теории вероятностей величину возможного отклонения
от
.

Расчеты показывают, что при числе измерений более 20 с вероятностью 68%
попадает в доверительный интервал [
], с вероятностью 95% – в интервале[
], с вероятностью 99,7% – в интервале [
].

Величина , определяющая границы доверительного интервала, называется стандартным отклонением или просто – стандартом.

Стандарт вычисляется по формуле:

. (7)

С учетом формулы (6), выражение (7) приобретает следующий вид:

. (8)

Чем больше число измерений n, тем ближе Х располагается к
. Если число измерений не велико меньше 15, то вместо распределения Гаусса используют распределение Стьюдента, которое приводит к увеличению ширины доверительного интервала возможного отклонения Х от
вt n , p раз.

Сомножитель t n , p называется коэффициентом Стьюдента. Индексы Р и n указывают, с какой надежностью и какому числу измерений соответствует коэффициент Стьюдента. Величина коэффициента Стьюдента для данного числа измерений и заданной надежности определяется по таблице 1.

Таблица 1

Коэффициент Стьюдента.

Например, при заданной надежности 95% и числе измерений n=20 коэффициент Стьюдента t 20,95 =2,1 (доверительный интервал
) при числе измеренийn=4, t 4,95 =3,2 (доверительный интервал
). То есть, при увеличении числа измерений с 4 до 20 возможное отклонение
отX уменьшается в 1,524 раза.

Ниже приводится пример расчета абсолютной случайной погрешности

		Х i –	(Х i – ) 2

По формуле (2) находим среднее значение измеряемой величины
(без указания размерности физической величины)

.

По формуле (8) вычисляем величину стандартного отклонения

.

Коэффициент Стьюдента, определенный для n=6, и Р=95%, t 6,95 =2,6 окончательный результат:

Х=20,1±2,6·0,121=20,1±0,315 (с Р=95%).

Вычисляем относительную погрешность:

.

При записи окончательного результата измерений нужно иметь в виду, что погрешность должна содержать только одну значащую цифру (отличную от нуля). Две значащие цифры в погрешности записываются лишь в том случае, если предпоследняя цифра 1. Большее число значащих цифр записывать бесполезно, поскольку они будут не достоверны. В записи среднего значения измеряемой величины последняя цифра должна принадлежать тому же разряду, что и последняя цифра в записи погрешности.

Х=(243±5)·10 2 ;

Х=232,567±0,003.

При проведении нескольких измерений может получится один и тот же результат. Это возможно в том случае, если чувствительность измерительного прибора низкая. Когда измерение производится прибором с низкой чувствительностью достаточно и однократного измерения. Не имеет смысла, например, многократно измерять длину стола рулеткой с сантиметровыми делениями. Результат измерения в этом случае будет один и тот же. Погрешность при проведении однократного измерения определяется ценой наименьшего деления прибора. Она называется приборной погрешностью. Её значение
вычисляется по следующей формуле:

, (10)

где γ – цена деления прибора;

t ∞, p – коэффициент Стьюдента, соответствующий бесконечно большому числу измерений.

С учетом приборной погрешности, абсолютная погрешность с заданной надежностью определяется по формуле:

, (11)

где
.

С учетом формул (8) и (10), (11) записывается так:

. (12)

В литературе для сокращения записи величину погрешности иногда не указывают. Предполагается, что величина погрешности составляет половину единицы последней значащей цифры. Так, например, величина радиуса Земли записана в виде
м. Это означает, что в качестве погрешности следует взять величину, равную ±
м.

В наш век человек придумал и использует огромное множество всевозможных измерительных приборов. Но какой бы совершенной ни была технология их изготовления, все они имеют большую или меньшую погрешность. Этот параметр, как правило, указывается на самом инструменте, и для оценки точности определяемой величины нужно уметь разбираться в том, что означают указанные на маркировке цифры. Кроме того, относительная и абсолютная погрешность неизбежно возникает при сложных математических расчетах. Она широко применяется в статистике, промышленности (контроль качества) и в ряде других областей. Как рассчитывается эта величина и как трактовать ее значение - об этом как раз и пойдет речь в данной статье.

Абсолютная погрешность

Обозначим через х приближенное значение какой-либо величины, полученное, к примеру, посредством однократного измерения, а через х 0 - ее точное значение. Теперь вычислим модуль разности между этими двумя числами. Абсолютная погрешность - это как раз и есть то значение, что получилось у нас в результате этой нехитрой операции. Выражаясь языком формул, данное определение можно записать в таком виде: Δ x = | x - x 0 |.

Относительная погрешность

Абсолютное отклонение обладает одним важным недостатком - оно не позволяет оценить степень важности ошибки. Например, покупаем мы на рынке 5 кг картофеля, а недобросовестный продавец при измерении веса ошибся на 50 грамм в свою пользу. То есть абсолютная погрешность составила 50 грамм. Для нас такая оплошность будет сущей мелочью и мы даже не обратим на нее внимания. А представьте себе, что случится, если при приготовлении лекарства произойдет подобная ошибка? Тут уже все будет намного серьезней. А при загрузке товарного вагона наверняка возникают отклонения намного больше данного значения. Поэтому сама по себе абсолютная погрешность малоинформативная. Кроме нее очень часто дополнительно рассчитывают относительное отклонение, равное отношению абсолютной погрешности к точному значению числа. Это записывается следующей формулой: δ = Δ x / x 0 .

Свойства погрешностей

Предположим, у нас есть две независимые величины: х и у. Нам требуется рассчитать отклонение приближенного значения их суммы. В этом случае мы может рассчитать абсолютную погрешность как сумму предварительно рассчитанных абсолютных отклонений каждой из них. В некоторых измерениях может произойти так, что ошибки в определении значений x и y будут друг друга компенсировать. А может случиться и такое, что в результате сложения отклонения максимально усилятся. Поэтому, когда рассчитывается суммарная абсолютная погрешность, следует учитывать наихудший из всех вариантов. То же самое справедливо и для разности ошибок нескольких величин. Данное свойство характерно лишь для абсолютной погрешности, и к относительному отклонению его применять нельзя, поскольку это неизбежно приведет к неверному результату. Рассмотрим эту ситуацию на следующем примере.

Предположим, измерения внутри цилиндра показали, что внутренний радиус (R 1) равен 97 мм, а внешний (R 2) - 100 мм. Требуется определить толщину его стенки. Вначале найдем разницу: h = R 2 - R 1 = 3 мм. Если в задаче не указывается чему равна абсолютная погрешность, то ее принимают за половину деления шкалы измерительного прибора. Таким образом, Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 мм. Суммарная абсолютная погрешность равна: Δ(h) = Δ(R 2) +Δ(R 1) = 1 мм. Теперь рассчитаем относительно отклонение всех величин:

δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Как видим, погрешность измерения обоих радиусов не превышает 5,2%, а ошибка при расчете их разности - толщины стенки цилиндра - составила целых 33,(3)%!

Следующее свойство гласит: относительное отклонение произведения нескольких числе примерно равно сумме относительных отклонений отдельных сомножителей:

δ(ху) ≈ δ(х) + δ(у).

Причем данное правило справедливо независимо от количества оцениваемых величин. Третье и последнее свойство относительной погрешности состоит в том, что относительная оценка числа k-й степени приближенно в | k | раз превышает относительную погрешность исходного числа.