Найти статический вес наиболее вероятного распределения. Второе начало термодинамики

Рассмотрим систему, состоящую из большого количества молекул. Назовем ее макроскопической системой. Состояние такой системы можно описать двумя способами:

1. С помощью средних характеристик системы, например, давления P , объёма V , температуры T , энергии Е . Состояние, заданное характеристиками, усреднёнными по большому числу молекул, будем называть макросостоянием.

2. Путем описания состояния всех образующих тело молекул, для этого необходимо знать координаты q и импульсы p всех молекул. Состояние, заданное таким образом, назовём микросостоянием.

Пусть макроскопическая система является частью какой – либо большой замкнутой системы, будем называть ее средой. Найдём микроскопическое распределение Гиббса, т.е. функцию распределения вероятностей различных состояний макроскопической системы, не взаимодействующей с окружающими телами и имеющей постоянную энергию. Различные состояния системы, имеющие одну и ту же энергию, имеют одинаковую вероятность.

Каждому значению энергии макроскопической системы могут соответствовать различные микросостояния, число таких состояний называется статистическим весом.

Пусть задано макросостояние системы из 4 молекул с помощью параметров: P, V, T, E. Молекулы находятся в сосуде, разделенном проницаемой перегородкой (рис. 10.1а). Cосуд находится в некоторой среде, но не взаимодействует с ней.

Рис. 10.1а. Рис. 10.1б. Рис. 10.1в.

Если все 4 молекулы находятся в правой половине сосуда, то макросостояние системы (0 - 4) можно записать с помощью одного микросостояния, перечислив номера молекул. В этом случае статистический вес .

Пусть теперь одна из молекул перешла в левую половину сосуда (рис. 10.1б). Это может быть молекула 1, тогда в правой половине останутся молекулы 2, 3, 4 или это молекула 2, тогда справа останутся молекулы 1, 3, 4 и т.д. Всего возможны 4 различных микросостояния, следовательно, статистический вес макросостояния (1 - 3) .

Вероятности всех микросостояний одинаковы. Состояние, когда молекула 1 слева, а 2, 3, 4 справа, имеет такую же вероятность, как состояние, когда молекула 2 слева, а 1, 3, 4 справа. Этот вывод основан на предположении, что все молекулы неотличимы друг от друга.

Равномерное распределение молекул по обеим половинам сосуда становится очевидным при большом количестве молекул. Мы знаем, что давление выравнивается со временем в обеих половинах сосуда: а поскольку концентрация молекул то и при постоянной температуре одинаковым будет число молекул слева и справа:

Поскольку наибольшему статистическому весу соответствует наибольшая вероятность состояния w , то очевидно, вероятность пропорциональна числу состояний. Состояние (2 - 2) является наиболее вероятным, т.к. имеет наибольший статистический вес (рис. 10.1в).

где
общее число молекул,
число молекул в 1 – ой части сосуда,
во второй. Термодинамическая вероятность в рассматриваемом примере.

Аналогично для распределения
:

Для
.

Заметим, что наибольшая термодинамическая вероятность у равномерного распределения , оно может осуществляться наибольшим числом способов.

Связь энтропии с вероятностью была установлена Больцманом , постулировавшим, что энтропия пропорциональна логарифму вероятности состояния

(энтропия определяется с точностью до константы

const), где
константа Больцмана,
термодинамическая вероятность.

Второе начало термодинамики и его статистическое толкование

Формулировка Больцмана:

Все процессы в природе протекают в направлении, приводящим к увеличению вероятности состояния .

Формулировка Клаузиуса:

Невозможны такие процессы, единственным конечным результатом которых был бы переход тепла от тела менее нагретого, к телу более нагретому .

С точки зрения формулировки Больцмана переход от холодного тела к нагретому принципиально возможен , но маловероятен .

Пример . Пользуясь формулой Больцмана, вычислим по изменению энтропии 2-х тел, находящихся при температурах 301 К и 300 К соответственно, отношение вероятности пребывания тел в этих состояниях, если от одного тела к другому передаётся количество теплоты в
. Обозначим вероятность пребывания при температуре 300 К
, 301 К
.

Ввиду малости передаваемой энергии разность
можно оценить используя соотношение:
.

, тогда

Это означает, что на каждый
случаев переходов
от тела с температурой 301 К к телу с температурой 300 К может произойти один случай перехода того же количества теплоты от тела с температурой 300 К к телу с температурой 301 К. (Заметим, что для совсем малого количества теплоты
вероятности становится сравнимыми и для таких случаев второе начало применить уже нельзя.).

Вообще же, говоря если в системе имеется многовариантность путей, процессов, то, рассчитав энтропию конечных состояний, можно теоретически определить вероятность того или иного пути, процесса , не производя их реально и в этом важное практическое применение формулы, связывающей термодинамическую вероятность с энтропией.

Вопросы для самоконтроля

· К. п. д. тепловой машины:

η = A/ Q 1 = 1 – Q 2 /Q 1 ,

где Q 1 - тепло, получаемое рабочим телом; Q 2 - отдаваемое тепло.

· К.п.д. цикла Карно:

где T 1 , T 2 - температуры нагревателя и холодильника.

· Неравенство Клаузиуса:

где δQ - элементарное тепло, полученное системой.

· Приращение энтропии системы:

· Основное уравнение термодинамики для обратимых процессов:

T dS = dU + p dV

· Свободная энергия:

F = U - TS , A T = - ΔF

· Связь между энтропией и статистическим весом Ω (термодинамической вероятностью):

S = k∙ lnΩ ,

где k - постоянная Больцмана.

3.1. У тепловой машины, работающей по циклу Карно, температура нагревателя в п = 1,6 раза больше температуры холодильника. За один цикл машина производит работу А = 12 кДж. Какая работа за цикл затрачивается на изотермическое сжатие вещества? (Рабочее вещество - идеальный газ.)

Ответ : А" = А/(п - 1) = 20 кДж.

3.2. В каком случае к.п.д. цикла Карно повысится больше: при увеличении температуры нагревателя на ΔТ или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину?

Ответ : при уменьшении температуры холодильника Т 2 .

3.3. Водород совершает цикл Карно. Найти к.п.д. цикла, если при адиабатическом расширении:

а) объем газа увеличивается в п = 2,0 раза;

б) давление уменьшается в n = 2,0 раза.

Ответ : a) η = 1 – n 1-γ = 0,25; б) η = 1 – n 1/(γ-1) = 0,18

3.4. Холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, должна поддерживать в своей камере температуру - 10° Спри температуре окружающей среды 20° С. Какую работу надо совершить над рабочим веществом машины, чтобы отвести от ее камеры Q 2 = 140 кДж тепла?

Ответ : А" = Q 2 (T 1/ T 2 - 1) = 16 кДж.

3.5. Тепловую машину. работающую по циклу Карно с к.п.д. η 10% используют при тех же тепловых резервуарах как холодильную машину. Найти ее холодильный коэффициент ε.

Ответ : ε = (1 - η)/η = 9

3.6. Найти к.п.д. цикла, состоящего из двух изобар и двух адиабат, если в пределах цикла давление изменяется в п раз. Рабочее вещество идеальный газ с показателем адиабаты γ.

Ответ : η = 1 – η -(γ - 1)/γ.

3.7. Идеальный газ с показателем адиабаты γ, совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Найти к.п.д. такого цикла, если температура Т газа возрастает в п раз как при изохорическом нагреве, так и при изобарическом расширении.

Ответ : η = 1 – (n + γ)/(1 + γn ).

3.8. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из:

а) изохоры, адиабаты и изотермы;

б) изобары, адиабаты и изотермы,

причем изотермический процесс происходит при минимальной температуре цикла. Найти к.п.д. каждого цикла, если температура в его пределах изменяется в п раз.

Ответ : в обоих случаях η = 1 – lnn /(n - 1)

3.9. Идеальный газ с показателем адиабаты γ совершает прямой цикл, состоящий из адиабаты. изобары и изохоры. Найти к.п.д. цикла, если при адиабатическом процессе объем идеального газа:

а) увеличивается в n раз:

б) уменьшается в n раз.

Ответ : a) η = 1 – γ(n – 1)/(n γ – 1); б) η = 1 – (n γ – 1)/γ(n – 1)n γ–1 .

3.10. Воспользовавшись неравенством Клаузиуса, показать, что к.п.д. всех циклов, у которых одинакова максимальная температура Т max и одинакова минимальная температура Т min , меньше, чем у цикла Карно при Т max и Т min . Указание : Учесть, что неравенство ∫δQ 1 /T 1 - ∫δQ ′ 2 /T 2 ≤ 0 только усиливается при замене Т 1 на Т max и Т 2 на Т min .

3.11. Какую максимальную работу может произвести тепловая машина, если в качестве нагревателя используется кусок железа массы m = 100 кг с начальной температурой Т 1 =1500 К. а в качестве холодильника вода океана с температурой Т 2 = 285 К?

Ответ : А max = mc [T 1 – T 2 – T 2 ∙ln(T 1 /T 2)] = 34 МДж, где с - удельная теплоемкость железа.

3.12. В качестве основных переменных, характеризующих состояние тела, можно принять его температуру и энтропию. Изобразить графически цикл Карно на диаграмме, откладывая по оси абсцисс энтропию, а по оси ординат температуру. Вычислить с помощью этого графика к.п.д. цикла.

3.13. Найти изменения энтропии моля идеального газа при изохорическом, изотермическом и изобарическом процессах.

3.14. Найти изменение энтропии при переходе 80 г кислорода от объема 10 л при температуре 80 о C к объему в 40 л при температуре 300 о C.

Ответ:

3.15. Один кубический метр воздуха, находящегося при температуре 0 о C и давлении 19,6 Н/cм 2 , изотермически расширяется от объема V 1 до объема V 2 = 2V 1 . Найти изменение энтропии при этом процессе.

Ответ:

3.16. Доказать, что энтропия v молей идеального газа может быть представлена в виде: S = v [c V lnT + R ln(V /v ) + const], где аддитивная постоянная в скобках не зависит от числа частиц газа.

3.17. В двух сосудах одного и того же объема находятся различные идеальные газы. Масса газа в первом сосуде m 1 во втором – m 2 , давление газов и температуры их одинаковы. Сосуды соединили друг с другом, и начался процесс диффузии. Определить суммарное изменение ΔS энтропии рассматриваемой системы, если относительная молекулярная масса первого газа μ 1, а второго μ 2 .

Ответ : ΔS = R ln2(m 1 /μ 1 + m 2 /μ 2).

3.18. Теплоизолированный цилиндрический сосуд разделен поршнем пренебрежимо малой массы на две равные части. По одну сторону поршня находится идеальный газ с массой m , относительной молекулярной массой μ и молярными теплоемкостями C p и С v ,не зависящими от температуры, а по другую сторону поршня создан высокий вакуум. Начальные температура и давление газа T 0 и p 0 . Поршень отпускают, и он, свободно двигаясь, дает возможность газу заполнить весь объем цилиндра. После этого, постепенно увеличивая давление на поршень, медленно доводят объем газа до первоначальной величины. Найти изменение внутренней энергии н энтропии газа при таком процессе.

Ответ : ΔU = U - U 0 = (m /η)∙C V T 0 (2 γ-1 - 1);

ΔS = S - S 0 = (m /μ)∙C V (γ - 1)ln2.

3.19. Зная зависимость свободной энергии от температуры и объема F(T, V), показать, что давление р = -(дF/дV) T и энтропия S = -(дF/д T) V .

3.20. Наряду с внутренней энергией U и свободной энергией F в термодинамике широко используют функции Н = U + рV - энтальпию и Ф = F + рV - свободную энергию Гиббса. Доказать, что эти функции удовлетворяют соотношениям:

dU = TdS – pdV,	dF = -SdT – pdV,
d Ф = -SdT + Vdp,	dH = TdS + Vdp,

3.21. Доказать соотношения Максвелла:

3.22. В чем ошибочность следующего рассуждения? Элементарное количество тепла dQ ,полученное физически однородным телом при квазистатическом процессе, равно

dQ = dU + pdV = dH – Vdp ,

или

Отсюда

Приравнивая оба выражения, получим (∂V /∂T ) p = 0. Отсюда следует, что тепловое расширение тел невозможно.

3.23. Показать, что внутренняя энергия вещества с уравнением состояния в форме р = f (V )T не зависит от объема.

3.24. Внутренняя энергия и единицы объема является функцией только от T, а уравнение состояния газа имеет вид р = и (Т )/ 3Определить функциональную форму и (Т ).

Ответ : u (T ) = const T 4 - (фотоновый газ)

3.25. Для идеального электронного газа имеет место соотношение: PV = 2 / 3 U . Найти для этого газа уравнение адиабаты: а) в переменных (Р, V ); б) в переменных (V, Т ).

Ответ : а) РV 5/3 = const; б) TV 2/3 = const.

3.26. Показать, что для веществ, у которых давление является линейной функцией температуры Т, теплоемкость Сv не зависит от объема.

3.27. Используя соотношения Максвелла найти выражение для энтропии моля газа Ван-дер-Ваальса.

Ответ :

3.28. Вычислить плотность энтропии S поля теплового излучения.

Ответ : S = 4 / 3 aT 3 +const. (см. задачу 2.32).

3.29. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах.

Ответ:

3.30. Определить температуру смеси CO 2 и H 2 , если разность средних кинетических энергий на одну молекулу того и другого газа равна 2,07·10 -14 эрг. Газ считать идеальным.

Ответ: 300 о К.

3.31. N атомов газообразного гелия находятся при комнатной температуре в кубическом сосуде объемом 1,0 см 3 . (Cреднее время пролета атомов гелия расстояния порядка размера сосуда τ ~ 10 -5 c).Найти:

а) вероятность того, что все атомы соберутся в одной половине сосуда;

б) примерное числовое значение N , при котором это событие можно ожидать на протяжении t = 10 10 лет (возраст Вселенной).

Ответ : a) p = 1 / 2 N ; б) N = 1g(t/τ)/ 1g2 = 80. где

3.32. Найти статистический вес наиболее вероятного распределения N = 10 одинаковых молекул по двум одинаковым половинам сосуда. Определить вероятность такого распределения.

Ответ : Ω вер = N !/[(N /2)!] 2 =252, p N/2 = Ω вер /2 N = 24,6%.

3.33. Какое количество тепла необходимо сообщить макроскопической системе, находящейся при температуре Т = 290 K, чтобы при неизменном объеме ее статистический вес увеличился на Δη = 0,1%?

Ответ : δQ = kT Δη = 4·10 -23 Дж.

3.34. Один моль идеального газа, состоящего из одноатомных молекул, находится в сосуде при температуре T 0 = 300 K. Как и во сколько раз изменится статистический вес этой системы (газа), если ее нагреть изохорически на ΔT = 1,0 K?

Ответ : Увеличится в Ω/Ω 0 = (1 + ΔT /T 0) iNa/2 = 10 1,31·10ˆ21 раз.

η = A / Q 1 = 1 – Q 2 /Q 1 ,

где Q 1 - тепло, получаемое рабочим телом; Q 2 - отдаваемое тепло.

К.п.д. цикла Карно:

где T 1 , T 2 - температуры нагревателя и холодильника.

Неравенство Клаузиуса:

где δQ - элементарное тепло, полученное системой.

Приращение энтропии системы:

Основное уравнение термодинамики для обратимых процессов:

T dS = dU + p dV

Свободная энергия:

F = U - TS , A T = - ΔF

Связь между энтропией и статистическим весом Ω (термодинамической вероятностью):

S = k∙ lnΩ ,

где k - постоянная Больцмана.

Ответ : А" = А/(п - 1) = 20 кДж.

Ответ : при уменьшении температуры холодильника Т 2 .

3.3. Водород совершает цикл Карно. Найти к.п.д. цикла, если при адиабатическом расширении:

а) объем газа увеличивается в п = 2,0 раза;

б) давление уменьшается в n = 2,0 раза.

Ответ : a) η = 1 – n 1-γ = 0,25; б) η = 1 – n 1/(γ-1) = 0,18

3.4. Холодильная машина, работающая по обратному циклу Карно, должна поддерживать в своей камере температуру - 10° С при температуре окружающей среды 20° С. Какую работу надо совершить над рабочим веществом машины, чтобы отвести от ее камеры Q 2 = 140 кДж тепла?

Ответ : А" = Q 2 (T 1/ T 2 - 1) = 16 кДж.

Ответ : ε = (1 - η)/η = 9

Ответ : η = 1 – η -(γ - 1)/γ.

Ответ : η = 1 – (n + γ)/(1 + γn ).

3.8. Идеальный газ совершает цикл, состоящий из:

а) изохоры, адиабаты и изотермы;

б) изобары, адиабаты и изотермы,

Ответ : в обоих случаях η = 1 – lnn /(n - 1)

а) увеличивается в n раз:

б) уменьшается в n раз.

Ответ : a)η= 1– γ(n – 1)/(n γ – 1); б)η= 1– (n γ – 1)/γ(n – 1)n γ –1 .

3.10. Воспользовавшись неравенством Клаузиуса, показать, что к.п.д. всех циклов, у которых одинакова максимальная температура Т max и одинакова минимальная температура Т min , меньше, чем у цикла Карно при Т max и Т min . Указание : Учесть, что неравенство ∫δQ 1 /T 1 - ∫δQ ′ 2 / T 2 ≤ 0 только усиливается при замене Т 1 на Т max и Т 2 на Т min .

3.11. Какую максимальную работу может произвести тепловая машина, если в качестве нагревателя используется кусок железа массы m = 100 кг с начальной температурой Т 1 = 1500 К. а в качестве холодильника вода океана с температурой Т 2 = 285 К?

Ответ : А max = mc [T 1 – T 2 – T 2 ∙ln(T 1 /T 2)] = 34 МДж, где с - удельная теплоемкость железа.

Ответ:

3.16. Доказать, что энтропия v молей идеального газа может быть представлена в виде: S = v [c V lnT + R ln(V /v ) + const], где аддитивная постоянная в скобках не зависит от числа частиц газа.

Ответ : ΔS = R ln2(m 1 /μ 1 + m 2 /μ 2).

3.18. Теплоизолированный цилиндрический сосуд разделен поршнем пренебрежимо малой массы на две равные части. По одну сторону поршня находится идеальный газ с массой m , относительной молекулярной массой μ и молярными теплоемкостями C p и С v , не зависящими от температуры, а по другую сторону поршня создан высокий вакуум. Начальные температура и давление газа T 0 и p 0 . Поршень отпускают, и он, свободно двигаясь, дает возможность газу заполнить весь объем цилиндра. После этого, постепенно увеличивая давление на поршень, медленно доводят объем газа до первоначальной величины. Найти изменение внутренней энергии н энтропии газа при таком процессе.

Ответ : ΔU = U - U 0 = (m /η)∙C V T 0 (2 γ -1 - 1);

ΔS = S - S 0 = (m /μ)∙C V (γ - 1)ln2.

3.19. Зная зависимость свободной энергии от температуры и объема F (T , V), показать, что давление р = -(д F /д V ) T и энтропия S = -(д F /д T) V .

3.20. Наряду с внутренней энергией U и свободной энергией F в термодинамике широко используют функции Н = U + р V - энтальпию и Ф = F + р V - свободную энергию Гиббса. Доказать, что эти функции удовлетворяют соотношениям:

dU = TdS – pdV,		dF = -SdT – pdV,
d Ф = -SdT + Vdp,		dH = TdS + Vdp,

3.21. Доказать соотношения Максвелла:

3.22. В чем ошибочность следующего рассуждения? Элементарное количество тепла dQ , полученное физически однородным телом при квазистатическом процессе, равно

dQ = dU + pdV = dH – Vdp ,

или

Отсюда

Приравнивая оба выражения, получим (∂V /∂T ) p = 0. Отсюда следует, что тепловое расширение тел невозможно.

3.23. Показать, что внутренняя энергия вещества с уравнением состояния в форме р = f (V )T не зависит от объема.

3.24. Внутренняя энергия и единицы объема является функцией только от T , а уравнение состояния газа имеет вид р = и (Т )/ 3 Определить функциональную форму и (Т ).

Ответ : u (T ) = const T 4 - (фотоновый газ)

3.25. Для идеального электронного газа имеет место соотношение: PV = 2 / 3 U . Найти для этого газа уравнение адиабаты: а) в переменных (Р, V ); б) в переменных (V, Т ).

Ответ : а) Р V 5/3 = const; б) TV 2/3 = const.

3.27. Используя соотношения Максвелла найти выражение для энтропии моля газа Ван-дер-Ваальса.

Ответ :

3.28. Вычислить плотность энтропии S поля теплового излучения.

Ответ : S = 4 / 3 aT 3 +const. (см. задачу 2.32).

3.29. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах.

Ответ:

3.30. Определить температуру смеси CO 2 и H 2 , если разность средних кинетических энергий на одну молекулу того и другого газа равна 2,07·10 -14 эрг. Газ считать идеальным.

Ответ:
300 о К.

а) вероятность того, что все атомы соберутся в одной половине сосуда;

Ответ : a) p = 1 / 2 N ; б) N = 1g(t /τ)/ 1g2 = 80. где

3. 32 . Найти статистический вес наиболее вероятного распределения N = 10 одинаковых молекул по двум одинаковым половинам сосуда. Определить вероятность такого распределения.

Ответ : Ω вер = N !/[(N /2)!] 2 =252, p N /2 = Ω вер /2 N = 24,6%.

Ответ : δQ = kT Δη = 4·10 -23 Дж.

Ответ : Увеличится в Ω/Ω 0 = (1 + ΔT /T 0) iNa /2 = 10 1,31·10ˆ21 раз.

Так как все направления скорости молекул равновероятны, то на первый взгляд кажется, что и все величины скорости должны быть равновероятны. Однако, как показывает эксперимент, при каждой температуре Т существует такая скорость (наиболее вероятная), что большинство молекул газа движется со скоростями, не очень сильно отличающимися от нее. Молекулы, скорости которых много больше или много меньше наиболее вероятной встречаются редко.

Решать задачу о числе молекул, которые обладают точно заданной скоростью v , не имеет смысла, так как таких молекул в каждый данный момент времени может вообще не оказаться. Но можно поставить вопрос о числе молекул, скорости которых лежат в некотором определенном интервале скоростей. Весь диапазон скоростей разбивают на участки и находят число пример">v до v +.

Тогда вероятность того, что мы встретим такую скорость,

опред-е">Вероятность равна доле молекул, имеющих скорость в указанном интервале по отношению к общему числу молекул n .

Очевидно, что вероятность пример">v , но и зависит от ширины интервала ..gif" border="0" align="absmiddle" alt=" не в произвольном, а в единичном интервале скоростей , т.е.

пример">f(v) - плотность вероятности, или функция распределения . Зависимость плотности вероятности (доли) случайной величины от ее значения называется функцией распределения этой случайной величины f(v) . Мы рассматриваем функцию распределения скорости молекул.

При разных v величина f(v) будет различной. Если бы мы ее знали, то смогли бы построить «ступеньки», называемые гистограммой . Такие гистограммы применяют не только в физике, но и в социологии, медицине, технике и т.д.

Так как в системе молекул скорость изменяется непрерывно, то можно определить более точно функцию распределения f(v) :

пример">f(v) должна быть нормирована условием:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f684.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" не означает, что в газе есть молекулы с бесконечно большими скоростями, это вычислительный прием, который возможен потому, что молекул с очень большими скоростями очень мало.

График функции f(v) представлен на рисунке, кривая f(v) асимметрична и проходит через нуль в начале координат. Площадь элементарной полоски, заштрихованной на рисунке, дает вероятность того, что скорость молекулы лежит внутри интервала от v до v + пример">n , она дает вероятное число молекул со скоростями в этом же интервале.

Функция распределения молекул газа по скоростям была получена Дж. Максвеллом. Он решил задачу для газа, состоящего из очень большого числа п одинаковых молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при определенной температуре. Предполагается, что силовые поля, действующие на газ, отсутствуют. Максвелловский закон распределения по скоростям имеет вид:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f687.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Функция f(v) имеет максимум при значении опред-е">наиболее вероятной скоростью (m - масса молекулы, Т - температура).

При повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям деформируется.

выделение">маленькими скоростями уменьшается , а с большими значениями скоростей - возрастает . Максимальное значение функции распределения f(v) при этом убывает, так что площадь под кривой остается неизменной.

Максвелловское распределение:

1) устанавливается всегда при тепловом равновесии в системах не взаимодействующих или упруго взаимодействующих частиц , движение которых можно описывать законами классической механики: газы, некоторые жидкости, броуновские частицы (мелкие частицы в жидкостях).

2) стационарно (не меняется во времени), несмотря на то, что в результате столкновений молекулы все время меняют величину скорости.

Знание статистических функций распределения дает возможность вычислять средние значения микроскопических параметров, не зная их значений у отдельных молекул. Например, среднюю арифметическую скорость движения молекул можно найти, вычислив интеграл:

пример">f(v) и проинтегрировать, то получим среднюю скорость молекул идеального газа:

опред-е">средней квадратичной скорости нужно вычислить интеграл:

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f693.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Экспериментальное измерение скоростей молекул (одним из первых такой опыт осуществил О. Штерн с использованием молекулярных пучков) показало хорошее согласие с теоретическими значениями скоростей, которые дает распределение Максвелла. В своих экспериментах по изучению термоэлектронной эмиссии Ричардсон в 1921 г. проверил закон распределения скоростей Максвелла. В состоянии равновесия над поверхностью металла образуется насыщенный пар из электронов, экспериментальное определение скоростей электронов подчиняется закону Максвелла.

В газе существует некоторое в среднем неизменное во времени распределение молекул по скоростям.

Равновесное состояние газа характеризуется не только распределением молекул по скоростям, но и по координатам. В отсутствие внешних полей это распределение будет однородным, т.е. газ равномерно распределяется по всему объему сосуда: в любых равных макроскопических объемах внутри сосуда в среднем находится одинаковое число молекул. А как обстоит дело при наличии действующего на молекулы поля, например, поля тяжести?

Найти закон распределения молекул газа с высотой в однородном поле тяжести можно из условия механического равновесия.

Рассмотрим вертикальный столб газа с площадью основания S , выделим в нем мысленно на высоте h слой толщиной формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f695.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" = const.

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f697.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

где формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f699.gif" border="0" align="absmiddle" alt=" можно записать в виде

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f701.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

Из уравнения Клапейрона-Менделеева для произвольной массы газа m

PV = mRT/M ,

плотность

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f703.gif" border="0" align="absmiddle" alt=".gif" border="0" align="absmiddle" alt=", получаем

пример">g и Т имеет вид

формула" src="http://hi-edu.ru/e-books/xbook787/files/f715.gif" border="0" align="absmiddle" alt="

опред-е">распределением Больцмана . Оно характеризует пространственное равновесное распределение концентрации частиц в зависимости от их потенциальной энергии.

Общая теория равновесных статистических распределений была создана Дж. Гиббсом. Он показал, что в состоянии теплового равновесия при температуре Т закон распределения молекул по любой характеризующей их состояние величине (координате, скорости, энергии) имеет экспоненциальный характер, причем в показателе экспоненты, стоит взятое со знаком минус отношение характерной энергии молекулы к величине kТ , которая пропорциональна средней кинетической энергии хаотического движения молекул.

Контрольные вопросы и задачи

1. Каково распределение молекул газа по скоростям в равновесном состоянии?

2. Что такое функция распределения случайной величины, например скорости молекул?

3. Постройте график функции распределения Максвелла по скоростям. Что происходит с кривой функции распределения с ростом температуры?

4. Какие опыты подтверждают выводы теории о распределении молекул по скоростям?

5. Как, пользуясь функцией распределения, найти среднюю скорость движения молекул? Среднюю квадратичную скорость движения молекул?

6. Дайте определение наиболее вероятной скорости движения молекул.

7. Напишите закон распределения молекул в поле тяготения.

8. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше их наиболее вероятной скорости на 100 м/с?