Метод гаусса 4 уравнения. Метод Гаусса: описание алгоритма решения системы линейных уравнений, примеры, решения

Еще с начала XVI-XVIII веков математики усиленно начали изучать функции, благодаря которым так много в нашей жизни изменилось. Компьютерная техника без этих знаний просто не существовала бы. Для решения сложных задач, линейных уравнений и функций были созданы различные концепции, теоремы и методики решения. Одним из таких универсальных и рациональных способов и методик решения линейных уравнений и их систем стал и метод Гаусса. Матрицы, их ранг, детерминант - все можно посчитать, не используя сложных операций.

Что представляет собой СЛАУ

В математике существует понятие СЛАУ - система линейных алгебраических уравнений. Что же она собой представляет? Это набор из m уравнений с искомыми n неизвестными величинами, обычно обозначающимися как x, y, z, или x 1 , x 2 … x n, или другими символами. Решить методом Гаусса данную систему - означает найти все искомые неизвестные. Если система имеет одинаковое число неизвестных и уравнений, тогда она называется системой n-го порядка.

Наиболее популярные методы решения СЛАУ

В учебных заведениях среднего образования изучают различные методики решения таких систем. Чаще всего это простые уравнения, состоящие из двух неизвестных, поэтому любой существующий метод для поиска ответа на них не займет много времени. Это может быть как метод подстановки, когда из одного уравнения выводится другое и подставляется в изначальное. Или метод почленного вычитания и сложения. Но наиболее легким и универсальным считается метод Гаусса. Он дает возможность решать уравнения с любым количеством неизвестных. Почему именно эта методика считается рациональной? Все просто. Матричный способ хорош тем, что здесь не требуется по несколько раз переписывать ненужные символы в виде неизвестных, достаточно проделать арифметические операции над коэффициентами - и получится достоверный результат.

Где используются СЛАУ на практике

Решением СЛАУ являются точки пересечения прямых на графиках функций. В наш высокотехнологический компьютерный век людям, которые тесно связаны с разработкой игр и прочих программ, необходимо знать, как решать такие системы, что они представляют и как проверить правильность получившегося результата. Наиболее часто программисты разрабатывают специальные программы-вычислители линейной алгебры, сюда входит и система линейных уравнений. Метод Гаусса позволяет высчитать все существующие решения. Также используются и другие упрощенные формулы и методики.

Критерий совместимости СЛАУ

Такую систему можно решить только в том случае, если она совместима. Для понятности представим СЛАУ в виде Ax=b. Она имеет решение, если rang(A) равняется rang(A,b). В этом случае (A,b) - это матрица расширенного вида, которую можно получить из матрицы А, переписав ее со свободными членами. Выходит, что решить линейные уравнения методом Гаусса достаточно легко.

Возможно, некоторые обозначения не совсем понятны, поэтому необходимо рассмотреть все на примере. Допустим, есть система: x+y=1; 2x-3y=6. Она состоит всего из двух уравнений, в которых 2 неизвестные. Система будет иметь решение только в том случае, если ранг ее матрицы будет равняться рангу расширенной матрицы. Что такое ранг? Это число независимых строк системы. В нашем случае ранг матрицы 2. Матрица А будет состоять из коэффициентов, находящихся возле неизвестных, а в расширенную матрицу вписываются и коэффициенты, находящиеся за знаком «=».

Почему СЛАУ можно представить в матричном виде

Исходя из критерия совместимости по доказанной теореме Кронекера-Капелли, систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде. Применяя каскадный метод Гаусса, можно решить матрицу и получить единственный достоверный ответ на всю систему. Если ранг обычной матрицы равняется рангу ее расширенной матрицы, но при этом меньше количества неизвестных, тогда система имеет бесконечное количество ответов.

Преобразования матриц

Прежде чем переходить к решению матриц, необходимо знать, какие действия можно проводить над их элементами. Существует несколько элементарных преобразований:

  • Переписывая систему в матричный вид и осуществляя ее решение, можно умножать все элементы ряда на один и тот же коэффициент.
  • Для того чтобы преобразовать матрицу в канонический вид, можно менять местами два параллельных ряда. Канонический вид подразумевает, что все элементы матрицы, которые расположены по главной диагонали, становятся единицами, а оставшиеся - нулями.
  • Соответствующие элементы параллельных рядов матрицы можно прибавлять один к другому.

Метод Жордана-Гаусса

Суть решения систем линейных однородных и неоднородных уравнений методом Гаусса в том, чтобы постепенно исключить неизвестные. Допустим, у нас есть система из двух уравнений, в которых две неизвестные. Чтобы их найти, необходимо проверить систему на совместимость. Уравнение методом Гаусса решается очень просто. Необходимо выписать коэффициенты, находящиеся возле каждого неизвестного в матричный вид. Для решения системы понадобится выписать расширенную матрицу. Если одно из уравнений содержит меньшее количество неизвестных, тогда на место пропущенного элемента необходимо поставить «0». К матрице применяются все известные методы преобразования: умножение, деление на число, прибавление соответствующих элементов рядов друг к другу и другие. Получается, что в каждом ряду необходимо оставить одну переменную со значением «1», остальные привести к нулевому виду. Для более точного понимания необходимо рассмотреть метод Гаусса на примерах.

Простой пример решения системы 2х2

Для начала возьмем простенькую систему алгебраических уравнений, в которой будет 2 неизвестных.

Перепишем ее в расширенную матрицу.

Чтобы решить данную систему линейных уравнений, требуется проделать всего две операции. Нам необходимо привести матрицу к каноническому виду, чтобы по главной диагонали стояли единицы. Так, переводя с матричного вида обратно в систему, мы получим уравнения: 1x+0y=b1 и 0x+1y=b2, где b1 и b2 - получившиеся ответы в процессе решения.

  1. Первое действие при решении расширенной матрицы будет таким: первый ряд необходимо умножить на -7 и прибавить соответственно отвечающие элементы ко второй строке, чтобы избавиться от одного неизвестного во втором уравнении.
  2. Так как решение уравнений методом Гаусса подразумевает приведение матрицы к каноническому виду, тогда необходимо и с первым уравнением проделать те же операции и убрать вторую переменную. Для этого вторую строку отнимаем от первой и получаем необходимый ответ - решение СЛАУ. Или, как показано на рисунке, вторую строку умножаем на коэффициент -1 и прибавляем к первой строке элементы второго ряда. Это одно и то же.

Как видим, наша система решена методом Жордана-Гаусса. Переписываем ее в необходимую форму: x=-5, y=7.

Пример решения СЛАУ 3х3

Предположим, что у нас есть более сложная система линейных уравнений. Метод Гаусса дает возможность высчитать ответ даже для самой, казалось бы, запутанной системы. Поэтому, чтобы более глубоко вникнуть в методику расчета, можно переходить к более сложному примеру с тремя неизвестными.

Как и в прежнем примере, переписываем систему в вид расширенной матрицы и начинаем приводить ее к каноническому виду.

Для решения этой системы понадобится произвести гораздо больше действий, чем в предыдущем примере.

  1. Сначала необходимо сделать в первом столбце один единичный элемент и остальные нули. Для этого умножаем первое уравнение на -1 и прибавляем к нему второе уравнение. Важно запомнить, что первую строку мы переписываем в изначальном виде, а вторую - уже в измененном.
  2. Далее убираем эту же первую неизвестную из третьего уравнения. Для этого элементы первой строки умножаем на -2 и прибавляем их к третьему ряду. Теперь первая и вторая строки переписываются в изначальном виде, а третья - уже с изменениями. Как видно по результату, мы получили первую единицу в начале главной диагонали матрицы и остальные нули. Еще несколько действий, и система уравнений методом Гаусса будет достоверно решена.
  3. Теперь необходимо проделать операции и над другими элементами рядов. Третье и четвертое действие можно объединить в одно. Нужно разделить вторую и третью строку на -1, чтобы избавиться от минусовых единиц по диагонали. Третью строку мы уже привели к необходимому виду.
  4. Дальше приведем к каноническому виду вторую строку. Для этого элементы третьего ряда умножаем на -3 и прибавляем их ко второй строчке матрицы. Из результата видно, что вторая строка тоже приведена к необходимой нам форме. Осталось проделать еще несколько операций и убрать коэффициенты неизвестных из первой строки.
  5. Чтобы из второго элемента строки сделать 0, необходимо умножить третью строку на -3 и прибавить ее к первому ряду.
  6. Следующим решающим этапом будет прибавление к первой строке необходимые элементы второго ряда. Так мы получаем канонический вид матрицы, а, соответственно, и ответ.

Как видно, решение уравнений методом Гаусса довольно простое.

Пример решения системы уравнений 4х4

Некоторые более сложные системы уравнений можно решить методом Гаусса посредством компьютерных программ. Необходимо вбить в существующие пустые ячейки коэффициенты при неизвестных, и программа сама пошагово рассчитает необходимый результат, подробно описывая каждое действие.

Ниже описана пошаговая инструкция решения такого примера.

В первом действии в пустые ячейки вписываются свободные коэффициенты и числа при неизвестных. Таким образом, получается такая же расширенная матрица, которую мы пишем вручную.

И производятся все необходимые арифметические операции, чтобы привести расширенную матрицу к каноническому виду. Необходимо понимать, что не всегда ответ на систему уравнений - это целые числа. Иногда решение может быть из дробных чисел.

Проверка правильности решения

Метод Жордана-Гаусса предусматривает проверку правильности результата. Для того чтобы узнать, правильно ли посчитаны коэффициенты, необходимо всего-навсего подставить результат в изначальную систему уравнений. Левая сторона уравнения должна соответствовать правой стороне, находящейся за знаком "равно". Если ответы не совпадают, тогда необходимо пересчитывать заново систему или попробовать применить к ней другой известный вам метод решения СЛАУ, такой как подстановка или почленное вычитание и сложение. Ведь математика - это наука, которая имеет огромное количество различных методик решения. Но помните: результат должен быть всегда один и тот же, независимо от того, какой метод решения вы использовали.

Метод Гаусса: наиболее часто встречающиеся ошибки при решении СЛАУ

Во время решения линейных систем уравнений чаще всего возникают такие ошибки, как неправильный перенос коэффициентов в матричный вид. Бывают системы, в которых отсутствуют в одном из уравнений некоторые неизвестные, тогда, перенося данные в расширенную матрицу, их можно потерять. В результате при решении данной системы результат может не соответствовать действительному.

Еще одной из главных ошибок может быть неправильное выписывание конечного результата. Нужно четко понимать, что первый коэффициент будет соответствовать первому неизвестному из системы, второй - второму, и так далее.

Метод Гаусса подробно описывает решение линейных уравнений. Благодаря ему легко произвести необходимые операции и найти верный результат. Кроме того, это универсальное средство для поиска достоверного ответа на уравнения любой сложности. Может быть, поэтому его так часто используют при решении СЛАУ.

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

Размер матрицы: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

  1. Записываем расширенную матрицу.
  2. Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
  3. Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите "очень подробное решение" и посмотрите его решение онлайн.

Определение и описание метода Гаусса

Метод преобразований Гаусса (также известный как преобразование методом последовательного исключения неизвестных переменных из уравнения или матрицы) для решения систем линейных уравнений представляет собой классический методом решения системы алгебраических уравнений (СЛАУ). Также этот классический метод используют для решения таких задач как получение обратных матриц и определения ранговости матрицы.

Преобразование с помощью метода Гаусса заключается в совершении небольших (элементарных) последовательных изменениях системы линейных алгебраических уравнений, приводящих к исключению переменных из неё сверху вниз с образованием новой треугольной системы уравнений, являющейся равносильной исходной.

Определение 1

Эта часть решения носит название прямого хода решения Гаусса, так как весь процесс осуществляется сверху вниз.

После приведения исходной системы уравнений к треугольной осуществляется нахождение всех переменных системы снизу вверх (то есть первые найденные переменные занимают находятся именно на последних строчках системы или матрицы). Эта часть решения известна также как обратный ход решения методом Гаусса. Заключается его алгоритм в следующем: сначала вычисляется переменные, находящиеся ближе всего к низу системы уравнений или матрицы, затем полученные значения подставляются выше и таким образом находится ещё одна переменная и так далее.

Описание алгоритма метода Гаусса

Последовательность действий для общего решения системы уравнения методом Гаусса заключается в поочередном применении прямого и обратного хода к матрице на основе СЛАУ. Пусть исходная система уравнений имеет следующий вид:

$\begin{cases} a_{11} \cdot x_1 +...+ a_{1n} \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_{m1} \cdot x_1 + a_{mn} \cdot x_n = b_m \end{cases}$

Чтобы решить СЛАУ методом Гаусса, необходимо записать исходную систему уравнений в виде матрицы:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \\ \vdots & … & \vdots \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}$

Матрица $A$ называется основной матрицей и представляет собой записанные по порядку коэффициенты при переменных, а $b$ называется столбцом её свободных членов. Матрица $A$, записанная через черту со столбцом свободных членов называется расширенной матрицей:

$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & … & a_{1n} & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_{m1} & … & a_{mn} & b_m \end{array}$

Теперь необходимо с помощью элементарных преобразований над системой уравнений (или над матрицей, так как это удобнее) привести её к следующему виду:

$\begin{cases} α_{1j_{1}} \cdot x_{j_{1}} + α_{1j_{2}} \cdot x_{j_{2}}...+ α_{1j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{1j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_1 \\ α_{2j_{2}} \cdot x_{j_{2}}...+ α_{2j_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{2j_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_2 \\ ...\\ α_{rj_{r}} \cdot x_{j_{r}} +... α_{rj_{n}} \cdot x_{j_{n}} = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \\ 0 = β_m \end{cases}$ (1)

Матрица, полученная из коэффициентов преобразованной системы уравнения (1) называется ступенчатой, вот так обычно выглядят ступенчатые матрицы:

$A = \begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ 0 & a_{22} & a_{23} & b_2\\ 0 & 0 & a_{33} & b_3 \end{array}$

Для этих матриц характерен следующий набор свойств:

  1. Все её нулевые строки стоят после ненулевых
  2. Если некоторая строка матрицы с номером $k$ ненулевая, то в предыдущей строчке этой же матрицы нулей меньше, чем в этой, обладающей номером $k$.

После получения ступенчатой матрицы необходимо подставить полученные переменные в оставшиеся уравнения (начиная с конца) и получить оставшиеся значения переменных.

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

При упрощении матрицы или системы уравнений этим методом нужно использовать только элементарные преобразования.

Таким преобразованиями считаются операции, которые возможно применять к матрице или системе уравнений без изменения её смысла:

  • перестановка нескольких строк местами,
  • прибавление или вычитание из одной строчки матрицы другой строчки из неё же,
  • умножение или деление строчки на константу, не равную нулю,
  • строчку, состоящую из одних нулей, полученную в процессе вычисления и упрощения системы, нужно удалить,
  • Также нужно удалить лишние пропорциональные строчки, выбрав для системы единственную из них с более подходящими и удобными для дальнейших вычислений коэффициентами.

Все элементарные преобразования являются обратимыми.

Разбор трёх основных случаев, возникающих при решении линейных уравнений используя метод простых преобразований Гаусса

Различают три возникающих случая при использовании метода Гаусса для решения систем:

  1. Когда система несовместная, то есть у неё нет каких-либо решений
  2. У системы уравнений есть решение, причём единственное, а количество ненулевых строк и столбцов в матрице равно между собой.
  3. Система имеет некое количество или множество возможных решений, а количество строк в ней меньше чем количество столбцов.

Исход решения с несовместной системой

Для этого варианта при решении матричного уравнения методом Гаусса характерно получение какой-то строчки с невозможностью выполнения равенства. Поэтому при возникновении хотя бы одного неправильного равенства полученная и исходная системы не имеют решений вне зависимости от остальных уравнений, которые они содержат. Пример несовместной матрицы:

$\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}$

В последней строчке возникло невыполняемое равенство: $0 \cdot x_{31} + 0 \cdot x_{32} + 0 \cdot x_{33} = 1$.

Система уравнений, у которой есть только одно решение

Данные системы после приведения к ступенчатой матрице и удаления строчек с нулями имеют одинаковое количество строк и столбцов в основной матрице. Вот простейший пример такой системы:

$\begin{cases} x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end{cases}$

Запишем её в виде матрицы:

$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end{array}$

Чтобы привести первую ячейку второй строчки к нулю, домножим верхнюю строку на $-2$ и вычтем её из нижней строчки матрицы, а верхнюю строчку оставим в исходном виде, в итоге имеем следующее:

$\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end{array}$

Этот пример можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end{cases}$

Из нижнего уравнения выходит следующее значение $x$: $x_2 = 3 \frac{1}{3}$. Подставим это значение в верхнее уравнение: $x_1 – 3 \frac{1}{3}$, получаем $x_1 = 1 \frac{2}{3}$.

Система, обладающая множеством возможных вариантов решений

Для этой системы характерно меньшее количество значащих строк, чем количество столбцов в ней (учитываются строки основной матрицы).

Переменные в такой системе делятся на два вида: базисные и свободные. При преобразовании такой системы содержащиеся в ней основные переменные необходимо оставить в левой области до знака “=”, а остальные переменные перенести в правую часть равенства.

У такой системы есть только некое общее решение.

Разберём следующую систему уравнений:

$\begin{cases} 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end{cases}$

Запишем её в виде матрицы:

$\begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end{array}$

Наша задача найти общее решение системы. Для этой матрицы базисными переменными будут $y_1$ и $y_3$ (для $y_1$ - так как он стоит на первом месте, а в случае $y_3$ - располагается после нулей).

В качестве базисных переменных выбираем именно те, которые первые в строке не равны нулю.

Оставшиеся переменные называются свободными, через них нам необходимо выразить базисные.

Используя так называемый обратный ход, разбираем систему снизу вверх, для этого сначала выражаем $y_3$ из нижней строчки системы:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac{4/5}y_4 + \frac{1}{5}$.

Теперь в верхнее уравнение системы $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$ подставляем выраженное $y_3$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5}) + y_4 = 1$

Выражаем $y_1$ через свободные переменные $y_2$ и $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac{4}{5}y_4 - \frac{1}{5} + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac{4}{5}y_4 + \frac{1}{5} – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac{1}{5}y_4 + \frac{6}{5}$

$y_1 = -1.5x_2 – 0.1y_4 + 0.6$

Решение готово.

Пример 1

Решить слау методом Гаусса. Примеры. Пример решения системы линейных уравнений заданных матрицей 3 на 3 используя метод Гаусса

$\begin{cases} 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end{cases}$

Запишем нашу систему в виде расширенной матрицы:

$\begin{array}{ccc|c} 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$

Теперь для удобства и практичности нужно преобразовать матрицу так, чтобы в верхнем углу крайнего столбца была $1$.

Для этого к 1-ой строчке нужно прибавляем строчку из середины, умноженную на $-1$, а саму среднюю строчку записываем как есть, выходит:

$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end{array}$

$\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end{array}$

Домножим верхнюю и последнюю строчки на $-1$, а также поменяем местами последнюю и среднюю строки:

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end{array}$

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end{array}$

И разделим последнюю строчку на $3$:

$\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end{array}$

Получаем следующую систему уравнений, равносильную исходной:

$\begin{cases} x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end{cases}$

Из верхнего уравнения выражаем $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Пример 2

Пример решения системы, заданной с помощью матрицы 4 на 4 методом Гаусса

$\begin{array}{cccc|c} 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.

В начале меняем местами верхнюю исследующую за ней строчки, чтобы получить в левом верхнем углу $1$:

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end{array}$.

Теперь умножим верхнюю строчку на $-2$ и прибавим ко 2-ой и к 3-ьей. К 4-ой прибавляем 1-ую строку, домноженную на $-3$:

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & -1 & 3 & -1 & 4 \\ \end{array}$

Теперь к строке с номером 3 прибавляем строку 2, умноженную на $4$, а к строке 4 прибавляем строку 2, умноженную на $-1$.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end{array}$

Домножаем строку 2 на $-1$, а строку 4 делим на $3$ и ставим на место строки 3.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end{array}$

Теперь прибавляем к последней строке предпоследнюю, домноженную на $-5$.

$\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{array}$

Решаем полученную систему уравнений:

$\begin{cases} m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end{cases}$

Сегодня разбираемся с методом Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. О том, что это за системы, можно почитать в предыдущей статье, посвященной решению тех же СЛАУ методом Крамера. Метод Гаусса не требует каких-то специфических знаний, нужна лишь внимательность и последовательность. Несмотря на то что с точки зрения математики для его применения хватит и школьной подготовки, у студентов освоение этого метода часто вызывает сложности. В этой статье попробуем свести их на нет!

Метод Гаусса

Метод Гаусса – наиболее универсальный метод решения СЛАУ (за исключением ну уж очень больших систем). В отличие от рассмотренного ранее , он подходит не только для систем, имеющих единственное решение, но и для систем, у которых решений бесконечное множество. Здесь возможны три варианта.

  1. Система имеет единственное решение (определитель главной матрицы системы не равен нулю);
  2. Система имеет бесконечное множество решений;
  3. Решений нет, система несовместна.

Итак, у нас есть система (пусть у нее будет одно решение), и мы собираемся решать ее методом Гаусса. Как это работает?

Метод Гаусса состоит из двух этапов – прямого и обратного.

Прямой ход метода Гаусса

Сначала запишем расширенную матрицу системы. Для этого в главную матрицу добавляем столбец свободных членов.

Вся суть метода Гаусса заключается в том, чтобы путем элементарных преобразований привести данную матрицу к ступенчатому (или как еще говорят треугольному) виду. В таком виде под (или над) главной диагональю матрицы должны быть одни нули.

Что можно делать:

  1. Можно переставлять строки матрицы местами;
  2. Если в матрице есть одинаковые (или пропорциональные) строки, можно удалить их все, кроме одной;
  3. Можно умножать или делить строку на любое число (кроме нуля);
  4. Нулевые строки удаляются;
  5. Можно прибавлять к строке строку, умноженную на число, отличное от нуля.

Обратный ход метода Гаусса

После того как мы преобразуем систему таким образом, одна неизвестная Xn становится известна, и можно в обратном порядке найти все оставшиеся неизвестные, подставляя уже известные иксы в уравнения системы, вплоть до первого.

Когда интернет всегда под рукой, можно решить систему уравнений методом Гаусса онлайн . Достаточно лишь вбить в онлайн-калькулятор коэффициенты. Но согласитесь, гораздо приятнее осознавать, что пример решен не компьютерной программой, а Вашим собственным мозгом.

Пример решения системы уравнений методом Гаусс

А теперь - пример, чтобы все стало наглядно и понятно. Пусть дана система линейных уравнений, и нужно решить ее методом Гаусса:

Сначала запишем расширенную матрицу:

Теперь займемся преобразованиями. Помним, что нам нужно добиться треугольного вида матрицы. Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой и получим:

Затем умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (6). Умножим 2-ую строку на (13). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Вуаля - система приведена к соответствующему виду. Осталось найти неизвестные:

Система в данном примере имеет единственное решение. Решение систем с бесконечным множеством решений мы рассмотрим в отдельной статье. Возможно, сначала Вы не будете знать, с чего начать преобразования матрицы, но после соответствующей практики набъете руку и будете щелкать СЛАУ методом Гаусса как орешки. А если Вы вдруг столкнетесь со СЛАУ, которая окажется слишком крепким орешком, обращайтесь к нашим авторам! вы можете, оставив заявку в Заочнике. Вместе мы решим любую задачу!

Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает.

Элементарные преобразования системы уравнений - это:

  1. Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;
  2. Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;
  3. Прибавление к любому i -му уравнению любого j -то уравнения, умноженного на любое число.

Переменная x i называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений - является разрешенной.

Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.

Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.

Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:

  1. Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная x i входит с коэффициентом 1;
  2. Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной x i в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной x i , и равносильную исходной;
  3. Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;
  4. Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n - число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.

В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:

  1. Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;
  2. Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа - получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.

Вот и все! Система линейных уравнений решена! Это довольно простой алгоритм, и для его освоения вам не обязательно обращаться к репетитору высшей по математике. Рассмотрим пример:

Задача. Решить систему уравнений:

Описание шагов:

  1. Вычитаем первое уравнение из второго и третьего - получим разрешенную переменную x 1 ;
  2. Умножаем второе уравнение на (−1), а третье уравнение делим на (−3) - получим два уравнения, в которых переменная x 2 входит с коэффициентом 1;
  3. Прибавляем второе уравнение к первому, а из третьего - вычитаем. Получим разрешенную переменную x 2 ;
  4. Наконец, вычитаем третье уравнение из первого - получаем разрешенную переменную x 3 ;
  5. Получили разрешенную систему, записываем ответ.

Общее решение совместной системы линейных уравнений - это новая система, равносильная исходной, в которой все разрешенные переменные выражены через свободные.

Когда может понадобиться общее решение? Если приходится делать меньше шагов, чем k (k - это сколько всего уравнений). Однако причин, по которым процесс заканчивается на некотором шаге l < k , может быть две:

  1. После l -го шага получилась система, которая не содержит уравнения с номером (l + 1). На самом деле это хорошо, т.к. разрешенная система все равно получена - даже на несколько шагов раньше.
  2. После l -го шага получили уравнение, в котором все коэффициенты при переменных равны нулю, а свободный коэффициент отличен от нуля. Это противоречивое уравнение, а, следовательно, система несовместна.

Важно понимать, что возникновение противоречивого уравнения по методу Гаусса - это достаточное основание несовместности. При этом заметим, что в результате l -го шага не может остаться тривиальных уравнений - все они вычеркиваются прямо в процессе.

Описание шагов:

  1. Вычитаем первое уравнение, умноженное на 4, из второго. А также прибавляем первое уравнение к третьему - получим разрешенную переменную x 1 ;
  2. Вычитаем третье уравнение, умноженное на 2, из второго - получим противоречивое уравнение 0 = −5.

Итак, система несовместна, поскольку обнаружено противоречивое уравнение.

Задача. Исследовать совместность и найти общее решение системы:


Описание шагов:

  1. Вычитаем первое уравнение из второго (предварительно умножив на два) и третьего - получим разрешенную переменную x 1 ;
  2. Вычитаем второе уравнение из третьего. Поскольку все коэффициенты в этих уравнениях совпадают, третье уравнение превратится в тривиальное. Заодно умножим второе уравнение на (−1);
  3. Вычитаем из первого уравнения второе - получим разрешенную переменную x 2 . Вся система уравнений теперь тоже разрешенная;
  4. Поскольку переменные x 3 и x 4 - свободные, переносим их вправо, чтобы выразить разрешенные переменные. Это и есть ответ.

Итак, система совместная и неопределенная, поскольку есть две разрешенных переменных (x 1 и x 2) и две свободных (x 3 и x 4).

Рекомендуем почитать