Как научиться считать в уме быстро. Умножать, делить, складывать как Шелдон Купер? Математические хаки…

В современном мире с множеством сверх прогрессивных девайсов, счет в уме не утратил своей актуальности.

Иногда мы сталкиваемся с людьми, способными складывать, умножать и делить сложные числа молниеносно. Такие люди не обладают сверхъестественными способностями, они просто знают формулы упрощенного счета и регулярно тренируют свой навык.

Три составляющих успешного обучения

1. Способности. Для того чтобы научиться считать в уме, следует уметь концентрировать внимание на поставленной задаче и удерживать в памяти сложные числа.
2. Формулы. Чтобы легко и просто производить вычисления в уме, следует запомнить основные математические формулы.
3. Практика. Частые тренировки позволят развить и усовершенствовать навык.

Учимся устно умножать на 11

Существует несколько простых способов умножения числа на 11.

Способ 1

При умножении 2-значного числа на 11, раздвинем цифры множителя.

Например (54 * 11):
5 _ 4 * 11=…

Теперь суммируем единицы и десятки, а полученный результат записываем в ответе:
5 (5+4) 4 * 11 = 5 (9) 4 = 594

Если при суммировании десятков и единиц у вас получается 2-значное число, оставим только единицы, а к десяткам прибавим «1».

Например (89 * 11):
8 _ (8+9) _9 = 8 _ (17) _ 9 = _ (8+1) _ 79 = 979

Способ 2

При умножении на 11 разложим число 11 на сумму: 10+1, и произведем умножение частей.

Например:
12 * 11 = 12 * (10+1) = 120 + 12 = 132

Так же и с 3-значными числами:
114 * 11 = 114 * (10+1) = 1140 + 114 = 1254

Умножаем на 9 и 11

При умножении на «9», просто умножим число на 10, а затем вычтем это же первоначальное число. Если умножаем на «11» - число следует умножить на «10» и добавить исходное число.

Примеры:
15 * 9 = 15 * 10 – 15 = 150 - 15 = 135
57 * 11 = 57 * 10 + 57 = 570 + 57 = 627
Возведение в квадрат числа, заканчивающегося на 5

Достаточно простая методика. Умножаем десяток на самого себя +1, и дописываем «25» в конце.

Например (35 * 35):
35 * 35 = 3 * (3+1)_25 = 1225
Устное умножение на 5, 25, 50, 125

Умножить на 5 числа до 10-ти не составляет проблем

Давайте научимся так же легко умножать двузначные и трехзначные числа.

Способ 1

Разделим наш множитель на «2». Получилось целое число? Значит, добавим к нему в конце «0», если число поровну не делится – отбрасываем остаток и добавляем «5» в конце.

Например (1482 * 5):
1482 * 5 = (1482/2) _ (+0 или +5) = 741 _(+0) = 7410 – число делится на 2 без остатка
2269 * 5 = (2269/2) _ (+0 или +5) = 1134.5 _ (+5) = 11345 – число делится на 2 с остатком

Способ 2

Умножая число на 5, 25, 50, 125 можно использовать следующие формулы:
А * 5 = А * 10 / 2
А * 50 = А * 100 / 2
А * 25 = А * 100 / 4
А * 125 = А* 1000 / 8

Примеры:
44 * 5 = 44 * 10 / 2 = 440 / 2 = 220
24 * 50 = 24 * 100 / 2 = 2400 / 2 = 1200
26 * 25 = 26 * 100 / 4 = 2600 / 4 = 650
54 * 125 = 54 * 1000 / 8 = 54000 / 8 = 6750

Учимся устно умножать на 4

Достаточно простой метод, не требующий особых усилий.

Умножаем число на «2», а потом полученный результат снова умножаем на «2».

Например:
27 * 4 = 27 * 2 * 2 = 54 * 2 = 108

Вычисляем в уме 15 % от числа

Находим 10% от числа и добавляем ½ от 10%.

Например:
15% от 664 = (10%) + (10% / 2) = 66.4 + 33.2 = 99.6

Умножаем в уме большие числа, одно из которых четное

При умножении больших чисел, одно из которых четное, воспользуемся методикой упрощения множителей. Четное число уменьшаем в два раза, а нечетное – увеличиваем во столько же раз.

Например:
48 * 125 = 24 * 250 = 12 * 500 = 6 * 1000 = 6000

Учимся делить на 5, 50, 25

Один простой прием поможет вам быстро делить в уме: умножим наше число на «2» и переместим запятую на одну цифру назад.

145 / 5 = 145 * 2 = 290 (смещаем запятую) = 29
1200 / 5 = 1200 * 2 = 2 400 (смещаем запятую) = 240

При делении на 50, 25, удобно воспользоваться формулами:

А / 50 = А * 2 / 100
А / 25 – А * 4 / 100

Примеры:
2350 / 50 = 2350 * 2 / 100 = 4700 / 100 = 47
2600 / 25 = 2600 * 4 / 100 = 10400 / 100 = 104

Вычитаем из 1000

Для того, чтобы вычесть число из 1000, отнимаем каждую цифру числа от «9», а последнюю цифру отнимаем от 10.

Например:
1000 – 248 = (9-2) _ (9-4) _ (10-8) = 752

Умножаем простые числа

Такой метод часто называют диагональным. Над числами мы дописываем, сколько им не хватает до «10», вычитаем по диагонали и получаем 1-ю цифру числа, затем перемножим верхние числа и записали 2-ю цифру.

Пример, умножим 7 на 8: 3 __ 2
7 8
8 – 3 = 5 _
3 * 2 = 6
Итог: 56

Умножаем числа от 10 до 20

Для того чтобы быстро в уме умножать числа от 10 до 20-ти, следует знать одну хитрость: к одному числу прибавим единицы другого, а сумму умножим на 10, к полученному результату добавим произведение единиц.

Пример:
13 * 15 = (13 + 5) * 10 + 3 * 5 = 180 + 15 = 195

Складываем и вычитаем натуральные числа

1. Если слагаемое увеличить на некоторое число, то это же число следует вычесть из полученной суммы.

Например:
650 + 346 = (650 + 346 + 4) – 4 = (650 + 350) – 2 = 1000 – 2 = 998

2. Если одно слагаемое уменьшить на некоторое число, а ко второму слагаемому это же число добавить, то сумма не изменится.

Например:
335 + 765 = (335 + 5) + (765 - 5) = 340 + 760 = 1100

3. Если к уменьшаемому и вычитаемому добавить одно и то же число, результат не изменится.

Например:
225 - 339 = (225 + 5) - (339 + 5) = 230 - 344 = 114

Умножаем числа с одинаковым количеством десятков, сумма единиц которых = 10

Арифметика достаточно проста: десятки одного из множителей умножаем на число, большее на «1», перемножаем единицы, и записываем поочередно результат.

Например:
302 * 308 = ..
1). 30 * (30 + 1) = 900 + 30 = 930
2). 2 * 8 = 16
Умножаем на число, состоящее из цифр 9

Как умножить на число 9, 99, 999?

Для этого просто добавим недостающие единицы и произведем вычисление.

Пример:
154 * 99 = 154 * (100 - 1) = 15400 - 154 = 15246
Складываем близкие по величине числа

Производим вычисление ряда чисел, близких по величине

Их можно разложить, и сложить частями.

Например:
19 + 22 + 23 + 21+ 24 + 17=…

Разложим слагаемые:
19 = 20 - 1
22 = 20 + 2
23 = 20 + 3
21 = 20 + 1
24 = 20 + 4
17 = 20 -3

Итог: 20 * 6 + (2-1+3+1+4-3) = 120 + 6 = 126

Надеемся, что наши советы помогут вам освоить приемы быстрого счета в уме. Следует помнить, что теория – это лишь 20 % успеха. Остальные 80% - ваше желание и практика.

В последнее время в России начинает набирать популярность новая для нашей страны методика развития интеллекта. Вместо привычных всем секций по шахматам родители отдают своих детей в школы ментальной арифметики. Как малышей учат считать в уме, сколько стоят такие занятия и что о них говорят специалисты - в материале «АиФ-Волгоград».

Что такое ментальная арифметика?

Ментальная арифметика представляет собой японскую методику развития интеллектуальных способностей ребенка с помощью вычислений на специальных счетах «соробан», которые иногда называют «абакус».

«Производя действия с числами в уме, дети представляют себе эти счеты и за доли секунды ментально складывают, вычитают, умножают и делят любые числа - хоть трехзначные, хоть шестизначные», - говорит Наталья Чаплиёва, педагог волжского клуба , в котором обучают детей по этой методике.

По ее словам, когда дети только учатся всем этим действиям, то считают цифры непосредственно на соробане, перебирая пальцами косточки. Потом они постепенно переходят со счет на «ментальную карту» - картинку, изображающую их. На этом этапе обучения они перестают трогать абакус и начинают представлять в уме, как они передвигают косточки на нем. Затем, дети перестают пользоваться и ментальной картой, начиная полностью визуализировать себе соробан.

Счеты соробан. Фото: АиФ/ Евгений Строкань

«Мы набираем в группы детей от 4 до 12 лет. В этом возрасте мозг наиболее пластичен, ребенок впитывает информацию, как губка, и поэтому легко осваивает методику обучения. Взрослому человеку научиться ментальному счету намного сложнее», - говорит Екатерина Григорьева, педагог клуба ментальной арифметики.

Сколько это стоит?

Абакус имеет прямоугольную раму, которая содержит 23-31 спицу, на каждой из которых нанизано по 5 косточек, разделенных поперечной перекладиной. Над нею находится одна костяшка, которая обозначает «пятерку», а под нею - 4 костяшки, обозначающие единицы.

Передвигать косточки необходимо только двумя пальцами - большим и указательным. Счет на соробане начинается с самой первой спицы справа. Она обозначает единицы. Находящаяся слева от нее спица - десятки, следующая за ней - сотни и т.д.

Соробан в обычных магазинах не продается. Купить такие счеты можно в интернете. В зависимости от количества спиц и материала цена соробана может колебаться от 170 до 1 000 рублей.

На первом этапе дети занимаются со счетами. Фото: АиФ/ Евгений Строкань

Если вы совсем не хотите тратиться на счеты, то можете скачать для телефона бесплатное приложение - онлайн-тренажер, имитирующий абакус.

Занятия ментальной арифметикой для детей в Волгограде стоят около 500-600 рублей в час. Можно купить абонемент на 8 занятий за 4 000 рублей и 16 занятий за 7 200 рублей. Занятия проводятся 2 раза в неделю. Счеты, ментальные карты и тетради волжская школа выдает детям бесплатно, их ученики могут забирать домой. По окончании курса ребенок может оставить себе соробан на память.

Обучаться ментальной арифметике детям приходится примерно 1-2 года в зависимости от способностей.

Задания для обучающихся. Фото: АиФ/ Евгений Строкань

Если у вас нет денег на занятия в специальной школе, то можно попытаться поискать видео-уроки на YouTube. Правда, часть из них выложена на сайте организациями, предоставляющими уроки за деньги в целях саморекламы. Их ролики совсем коротенькие - продолжительностью 3 минуты. С помощью них можно обучиться азам ментальной арифметики, но не более того.

Что об этом говорят эксперты?

Педагоги, проводящие занятия ментальной арифметикой, уверенны, что обучение стоит потраченных на него средств.

«Ментальная арифметика хорошо развивает воображение, творческую жилку ребенка, его мышление, память, мелкую моторику, внимательность, усидчивость. Занятия ею направлены на то, чтобы у ребенка одновременно развивались оба полушария, что очень важно, ведь традиционная подготовка ребенка к школе развивает только правое полушарие мозга», - считает педагог Наталья Чаплиёва .

Психолог Наталья Орешкина считает, что в случае с детьми 4-5 лет, занятия ментальной арифметикой будут эффективны только в том случае, если будут проходить в игровой форме.

«Дети этого возраста вообще с трудом могут концентрироваться на такое время, если только речь идет не о просмотре мультика, - говорит эксперт. - Но если занятие будет построено в игровой форме, если дети будут заниматься на счетах, что-то разукрашивать, то они усвоят знания будучи при этом в естественной для себя среде - в игре. Кроме того, детям не должно быть тяжело, не надо превышать допустимый уровень нагрузки. Например, для 4-леток занятия должны идти не более 30 минут. Могу сказать, что ментальная арифметика для детей - это очень интересно. Но если ребенок в чем-то отстает от своих сверстников, то для него такие занятия будут слишком тяжелыми. Если у ребенка нет внутреннего ресурса для занятий, то это будет бесполезная трата времени, сил и денег».

Устный счет существует столько же, сколько существует человечество. В разные времена навыки быстрого счета играли большую роль в развитии не только людей, но и всего человечества. Сейчас наука продвинулась так далеко, что для вычислений используются мощные компьютеры, и человек просто не в силах сделать столько вычислений, сколько необходимо для одного только запуска большого адронного коллайдера или обычного смартфона.

Но даже сейчас, когда компьютерные системы ведут бухгалтерию миллионов компаний, автоматизируют все сложные и рутинные операции на предприятиях, заводах, аэропортах и даже в магазинах – быстрый счет не потерял и не потеряет своей актуальности.

Примеры упражнений для устного счета

Фруктовая математика

1. Развивает объем внимания.
2. Улучшает логику.

Игра «Фруктовая математика» поможет вам усовершенствовать свое мышление. Суть игры в том, что на представленной вам картинке, потребуется выбрать ответ «да» или «нет» на вопрос «есть ли 5 одинаковых фруктов?». Идите за своей целью, а поможет вам в этом данная игра.

Числовой охват

1. Развивает объем памяти.
2. Улучшает семантическую память.

Надо запомнить цифры и воспроизвести их в правильном порядке. Можно пользоваться клавиатурой.

Навыки устного счета

Навыки устного счета бывают разными и перед тем как идти дальше ответьте, пожалуйста, на несколько вопросов:

1. Хотите научиться быстро считать в уме?
2. С какой целью Вы хотите научиться быстро считать ?
3. Как часто Вы пользуетесь калькулятором?
4. Вам всегда удобно пользоваться калькулятором?
5. Сколько времени вы тратите на то, чтобы его найти или запустить на своем телефоне/компьютере?
6. Вы бы стали учиться считать быстро для своего интеллектуального развития?
7. Вы хотите быстро считать сдачу в магазине ?
8. Вам часто требуется производить сложные математические действия?
9. Вы не хотите каждый раз напрягаться, чтобы что-нибудь сосчитать в уме?
10. Вас интересует комплексное или узкоспециализированное развитие интеллекта ?
11. Вы хотите стать гением или просто расширить кругозор? :)

Это были вопросы для размышления. Они помогают не только вовлечь Вас в процесс, показать альтернативные варианты, когда навыки быстрого счета бывают очень нужны. Подумайте, возможно Вы найдете еще плюсы, того какую пользу еще может принести этот математический навык.

Если Вы ответили "Да" хотя бы на один из вопросов, то надеюсь, что Вы научитесь лучше считать в уме.

Уроки устного счета

Чтобы научиться быстро считать в уме, Вам понадобится каждый день тренировать свой мозг. Выполняйте упражнения устного счета по 15-30 минут в день. Уже в первые дни заметите результат, большинство добиваются успехов уже на первом занятии.

Помню, у меня было так же, когда я уже давно ничего не считал и решил посмотреть, что осталось от моих былых способностей. Поначалу считал очень медленно, но потом получалось все быстрее и быстрее.. На первом занятии я стал быстро складывать почти все трехзначные числа. В процессе счета очень важную роль играет развитие памяти . Чем лучше развита память, тем быстрее запоминаются наиболее частые комбинации.

В результате мозг запоминает разные варианты и быстрее выдает результат. Поэтому счет потом идет больше по памяти, чем по вычислениям. Для вычисления сложных действий могут браться результаты более простых из памяти.

Уроки устного счета онлайн

Используйте приемы устного счета по 15-20 минут в день, Вы почувствуете результат уже на первых занятиях. Скоро там появятся интересные тренажеры для устного счета , которые обучают этому искусству в игровой форме.

Игры для развития устного счета

Вы когда-нибудь задумывались: "Как можно тренировать счет легко и интересно? ". Скорее всего да, потому что тренировать устный счет традиционным способом, как это принято в школе очень тяжело.

Наш мозг любит играть, он любит интересные задания, где виден прогресс в графиках или очках. Именно поэтому многие ученые в последнее столетие изучают работу мозга. Они обнаружили, что навыки развиваются лучше всего именно в игровой форме. Играйте по 3-5 игр в день, по 2 минуты и Вы увидите результат. Скорость Ваших ответов и набираемые очки будут постепенно увеличиваться.

Игра «Угадай операцию»

Это одно из лучших упражнений для тренировки счета , потому что вам потребуется вставить правильно математические знаки, чтобы получить верный результат. Это упражнение поможет вам развить устный счет , логику и скорость мысли. С каждым верным ответом сложность увеличивается.

Игра «Математические матрицы»

«Математические матрицы» великолепное упражнение для развития устного счета , которое поможет развить мыслительную работу мозга, устный счет , быстрый поиск нужных компонентов, внимательность. Суть игры заключается в том, что игроку предстоит из предложенных 16 чисел найти такую пару, которая в сумме даст данное число, например на картинке показано число «29», а искомая пара «5» и «24».

Игра «Копилка»

Не могу удержаться, чтобы не посоветовать вам игру «Копилка» с того же самого сайта, на котором вам нужно зарегистрироваться, указать только E-mail и пароль. Эта игра сможет устроить вам фитнес для мозга и отдых для тела. Суть игры в том, чтобы указать 1 из 4 окошечек, в котором сумма монет наибольшая. Сумеете ли вы показать прекрасный результат? Мы ждем вас.

Игра «Математические сравнения»

Представляю прекрасную игру «Математические сравнения», с которой вы сможете расслабиться телом, а напрячься мозгом. На скриншоте показан пример данной игры, в которой будет вопрос, связанный с картинкой, а вам надо будет ответить. Время ограниченно. Как много вы успеете ответить?

Игра «2 назад»

Для развития устного счета советуем упражнение «2 назад». Эта игра помогает в развитии устного счета, памяти и внимания. На экран будет показана последовательность цифр, которые нужно запомнить, а затем сравнить цифру последней карты с предыдущей. Это упражнение тренирует не только устный счет, но и мозг в целом. Упражнение доступно после регистрации, вы готовы? Развивайтесь с нами.

Игра «Визуальная геометрия»

«Визуальная геометрия» - упражнение поможет ускорить ход ваших мыслей, повысит запоминаемость и память. С каждым успешно пройденным уровнем игра становится сложнее. Игра помогает развивать устный счет. Сколько уровней Вы сможете пройти?

Помимо этих упражнений есть еще более 30 бесплатных развивающих игровых-тренажеров, которые доступны сразу после регистрации.

Для получения доступа к бесплатным играм нужно зарегистрироваться указать только Ваш Email и пароль (или авторизоваться с помощью соц. сетей).

Устный счёт на ЕГЭ и ГИА

Устный счёт так же может пригодиться на экзаменах по математике, в том числе и на едином государственном экзамене, который пишут все школьники одиннадцатых классов. Этот навык поможет меньше мучиться со сложными вычислениями. Разбейте их на более мелкие математические операции, которые легче посчитать в уме.

Устный счёт улучшает не только ваши вычислительные способности, но и другие мыслительные стратегические операции, такие как память , что позволит ещё быстрее и качественнее запоминать любую информацию и применять свои новые способности не только на экзаменах, но и в своей повседневной жизни.

Чтобы научиться быстрее считать и лучше подготовиться к ЕГЭ или ГИА, запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика". Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Устный счет по математике

Взрослым и детям школьного возраста отлично подойдут тренинги и уроки устного счета. Особенно они нужны детям, потому что они только учатся считать, но школьникам 1,2 и 3 классов нужны более простые уроки устного счета по математике.

Для школьников начальных классов вполне хватит простых арифметических упражнений. Но зато как их можно натренировать, особенно если сделать это в игровой форме.

Игра «Числовой охват: Революция»

Интересная и полезная игра «Числовой охват: Революция», которая поможет Вам улучшить память. Суть игры в том, что на мониторе будут выводиться цифры по порядку, по одной, которые Вам следует запомнить, а затем воспроизвести. Такие цепочки будут состоять из 4, 5 и даже 6 цифр. Время ограниченно. Побейте дневной рекорд среди всех игроков.

Курсы для развития устного счета и мозга

Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика

Секретные и популярные приемы и лайфхаки, подойдет даже ребенку. Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого вычитания, сложения, умножения, деления, расчета процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх. Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

В курс входит 30 уроков с полезными советами и упражнениями для развития детей. В каждом уроке полезный совет, несколько интересных упражнений, задание к уроку и дополнительный бонус в конце: развивающая мини-игра от нашего партнера. Длительность курса: 30 дней. Курс полезно проходить не только детям, но и их родителям.

Супер-память за 30 дней

Как только запишитесь на этот курс - для Вас начнется мощный 30-дневный тренинг развития супер-памяти и прокачки мозга.

В течение 30 дней после подписки Вы будете получать интересные упражнения и развивающие игры на свою почту, которые сможете применять в своей жизни.

Мы будем учиться запоминать все, что может потребоваться в работе или личной жизни: учиться запоминать тексты, последовательность слов, цифры, изображения, события, которые произошли в течение дня, недели, месяца и даже карты дорог.

Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет

Если вы хотите разогнать свой мозг, улучшить его работу, подкачать память, внимание, концентрацию, развить больше креативности, выполнять увлекательные упражнения, тренироваться в игровой форме и решать интересные задачки, тогда записывайтесь! 30 дней мощного фитнеса мозга Вам гарантированы:)

Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, копить деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Скорочтение за 30 дней

Запишитесь на курс Скорочтение за 30 дней, чтобы научиться читать в 3-4 раза быстрее. С 2015 года по нашей программе обучилось 1507 человек из Москвы, Санкт-Петербурга, Екатеринбурга, Новосибирска, Казани, Челябинска, Уфы, Оренбурга, Нижнего Новгорода, Киева, Минска и других городов.

Итог

В этой статье я дал общее представление об устном счете , способах развития устного счета, тренажерах, рассказал про курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", который поможет научиться считать на сверхзвуковой скорости.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

ВВЕДЕНИЕ

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать.

Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел ни покупки не сделаешь, ни времени не узнаешь, ни номера телефона не наберёшь. А космические корабли, лазеры и все другие технические достижения?! Они были бы попросту невозможны, если бы не наука о числах.

Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. В моей работе предпочтение отдано стихии чисел и действий с ними.

Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому я решил показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть важным, но и интересным занятием.

Цель: изучить приемы быстрого счета, показать необходимость их применения для упрощения вычислений.

В соответствии с поставленной целью были определены задачи:

1. Исследовать, применяют ли школьники приемы быстрого счета.
2. Изучить приемы быстрого счета, которые можно использовать, упрощая вычисления.
3. Составить памятку для учащихся 5-6 классов для применения приемов быстрого счета.

Объект исследования: приемы быстрого счета.

Предмет исследования : процесс вычислений.

Гипотеза исследования: если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и им будет легче решать практические задачи.

При выполнении работы были использованы следующие приемы и методы : опрос (анкетирование), анализ (статистическая обработка данных), работа с источниками информации, практическая работа, наблюдения.

Данная работа относится к прикладным исследованиям , т.к. в ней показывается роль применения приемов быстрого счета для практической деятельности.

При работе над докладом я пользовался следующими методами:

1. поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;
2. практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;
3. анализ полученных в ходе исследования данных.

Актуальность моего исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно. А ведь изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложных задач, возникающих в различных областях деятельности современного человека. Поэтому в своей работе я хочу показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием. Именно использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.

За простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом» заинтриговали. Захотелось узнать эти и другие способы вычислений, а также сравнить их с сегодняшними.

Умеете ли вы считать? Вопрос, пожалуй, даже обидный для человека старше трехлетнего возраста. Кто не умеет считать? Каждый ответит, что для этого, особого искусства не требуется. И будет прав. Но вопрос – как считать? Можно считать на калькуляторе, можно считать столбиком в тетради, а можно считать устно, используя приемы быстрого счета. Я очень быстро считаю устно, практически никогда не решаю столбиком, письменно, все потому, что знаю и применяю различные приемы быстрого счета. Из моих одноклассников мало кто умеет считать быстро устно и мне захотелось выяснить, а знают ли они приемы быстрого счета, если нет, то помочь им освоить эти приемы, с этой целью составить для них памятку с приемами быстрого счета.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен тестовый опрос.

Для начала, я провел анкетирование в 6-х классах нашей школы. Задавал ребятам простые вопросы. Зачем вообще нужно уметь считать? При изучении каких школьных предметов требуется правильный счет? Знают ли они приемы быстрого счета? Хотели бы научиться быстро считать устно? (Приложение I).

В опросе приняли участие 61 человек. Проанализировав результаты, я сделал вывод, что большинство учеников считает, что умение считать пригодится в жизни и необходимо в школе, особенно при изучении математики, физики, химии, информатики и технологии. Приемы быстрого счета знают несколько учеников и почти все хотели бы научиться быстро считать. (Результаты анкетирования отражены в диаграммах) (Приложение II).

Проведя статистическую обработку данных, я сделал вывод, что не все учащиеся знают приемы быстрого счета, поэтому необходимо сделать для учеников 5-6-х классов памятки с приемами быстрого счета, чтобы использовать их при выполнении вычислений.

Результаты анкетирования:

Вопрос	5 класс	6 классы	Всего
	да	нет	не знаю	да	нет	не знаю
А хотели бы узнать?

Сводная таблица анкетирования:

Вопрос	5, 6 классы
	да	нет	не знаю
Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?
Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?
Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?
А хотели бы узнать?

По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современные школьники не знают других способов выполнения действий кроме таких как умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком», так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

Глава I. ИСТОРИЯ СЧЁТА

1. КАК ВОЗНИКЛИ ЧИСЛА

Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.
И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы – он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось сделать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал–энэа», 4 «петчевал–петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя – камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3) . И здесь другие числа получались сложением меньших: 4=«булан–булан», 5=«булан–гулиба», 6=«гулиба–гулиба» и т.д.

У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли «боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине у берегах Амура нивхи. Ещё в XIX веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.

Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.

С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.

Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.

До сих пор я рассказывал об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни – Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25 000 лет назад.

Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы ацтеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .

В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.

За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Первые 9 букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами–числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»).

Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в VI веке индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.

При записи дробей ещё долгое время целую часть записывали в новой десятичной нумерации, а дробную – в шестидесятеричной. Но в начале XV в. самаркандский математик и астроном аль–Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби.

Числа, с которыми мы работаем с положительными и отрицательными числами. Но, оказывается, что это не все числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в математике.

Глава II. СТАРИННЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

2.1. РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСКИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример: умножим 47 на 35,

1. запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
2. левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
3. деление заканчивается, когда слева появится единица;
4. вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа; 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645
5. далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.

2.2. МЕТОД «РЕШЕТКИ»

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль – Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль – Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы – по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

	1	3
	0	1

В своей «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «МЕТОДОМ РЕШЁТКИ» . Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Пример: умножим 25 и 63.

Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).

Мною рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрю еще один пример: перемножим 987 и 12:

1. рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);
2. затем квадратные клетки делим по диагонали;
3. вверху таблицы записываем число 987;
4. слева таблицы число 12;
5. теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше;
6. после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны;
7. результат читаем по стрелке.

Этот алгоритм умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

Неудобство этого способа мне хотелось бы отметить в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

2.3. УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА ).

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример: 8 ∙ 9 = 72

Позже пальцевой счёт усовершенствовали – научились показывать с помощь пальцев числа до 10000.

Движение пальца – это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно).

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

Глава III. УСТНЫЙ СЧЕТ – ГИМНАСТИКА УМА

3.1. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

СЛОЖЕНИЕ

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д. Например:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

СЛОЖЕНИЕ В УМЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Если цифра единиц в прибавляемом числе больше5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

СЛОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы. Например:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

ВЫЧИТАНИЕ

Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЛА МЕНЬШЕ 100 ИЗ ЧИСЛА БОЛЬШЕ 100

Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме. 134-76=58

76 на 24меньше 100. 134 на 34 больше 100. Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58.

152-88=64

88 на 12 меньше 100,а 152 больше 100 на 52, значит

152-88=12+52=64

3.2. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ

Изучив литературу по данной теме, мною был сделан отбор, из множества приемов быстрого счета, я выбрал приемы умножения и деления, которые просты в понимании и применении для любого ученика. Эти приемы я и включил в памятку (Приложение III), которая будет полезна для учеников 5-6-х классов.

1. Умножение и деление числа на 4.

Чтобы умножить число на 4, нужно его дважды умножить на 2.

Например:

26·4=(26·2)·2=52·2=104;

417·4=(417·2)·2=834·2=1668.

Чтобы разделить число на 4, нужно его дважды разделить на 2.

Например:

324:4=(324:2):2=162:2=81.

1. Умножение и деление числа на 5.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10 и разделить на 2.

Например:

236·5=(236·10):2=2360:2=1180.

Чтобы разделить число на 5, нужно умножить 2 и разделить на 10, т.е. отделить запятой последнюю цифру.

Например:

236:5=(236·2):10=472:10=47,2.

1. Умножение числа на 1,5.

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например: 34·1,5=34+17=51;

146·1,5=146+73=219.

1. Умножение числа на 9.

Чтобы умножить число на 9, нужно к нему приписать 0 и отнять исходное число.

Например: 72·9=720-72=648.

1. Умножение на 25 числа, делящегося на 4.

Чтобы умножить на 25 число, делящееся на 4, нужно его разделить на 4 и получившееся число умножить на 100.

Например: 124·25=(124:4)·100=31·100=3100.

1. Умножение двузначного числа на 11

При умножении двузначного числа на 11, нужно между цифрой единиц и цифрой десятков вписать сумму этих цифр, причем, если сумма цифр больше 10, то единицу нужно прибавить к старшему разряду (первой цифре).

Например:
23·11=253, т.к. 2+3=5, поэтому между 2 и 3 ставим цифру 5;
57·11=627, т.к. 5+7=12, цифру 2 ставим между 5 и 7, а к 5 прибавляем 1, вместо 5 пишем 6.

«Краешки сложи, в серединку положи» - эти слова помогут легко запомнить данный способ умножения на 11.

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.

1. Умножение двузначного числа на 101.

Для того, чтобы число умножить на 101, нужно приписать данное число к самому себе.

Например:34·101 = 3434.

Поясним, 34·101 = 34·100+34·1=3400+34=3434.

1. Возведение в квадрат двузначного числа, оканчивающегося на 5.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25.
Например: 35 2 =1225, т.е. 3·4=12 и к 12 приписываем 25, получаем 1225.

1. Возведение в квадрат двузначного числа, начинающегося на 5.

Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.

Например:
52 2 = 2704, т.к. 25+2=28 и 2 2 =04;
58 2 = 3364, т.к. 25+8=33 и 8 2 =64.

3.3. ИГРЫ

Отгадывание полученного числа.

1. Задумайте какое-нибудь число. Прибавьте к нему 11; умножьте полученную сумму на 2; от этого произведения отнимите 20; умножьте полученную разность на 5 и от нового произведения отнимите число, в 10 раз больше задуманного вами числа. Я отгадываю: вы получили 10. Верно?
2. Задумайте число. Утрой его. Вычти из полученного 1. Полученное умножьте на 5. К полученному прибавьте 20. Разделите полученное на 15. Из полученного результата вычтите задуманное. У вас получилось 1.
3. Задумайте число. Умножьте его на 6. Вычтите 3. Умножьте на 2. Прибавьте 26. Вычтите удвоенное задуманное. Разделите на 10. Вычтите задуманное. У вас получилось 2.
4. Задумайте число. Утройте его. Вычтите 2. Умножьте на 5. Прибавьте 5. Разделите на 5. Прибавьте 1. Разделите на задуманное. У вас получилось 3.
5. Задумайте число, удвойте его. Прибавьте 3. Умножьте на 4. Вычтите 12. Разделите на задуманное. У вас получилось 8.

Угадывание задуманных чисел.

1. Предложите своим друзьям задумать любые числа. Пусть каждый прибавит к своему задуманному числу 5.
2. Полученную сумму пусть умножит на 3.
3. От произведения пусть отнимет 7.
4. Из полученного результата пусть вычтет ещё 8.
5. Листок с окончательным результатом пусть каждый отдаст вам. Глядя на листок, вы тут же говорите каждому, какое число он задумал.

(Чтобы угадать задуманное число, результат, написанный на бумажке или сказанный вам устно, разделить на 3).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Мы вступили в новое тысячелетие! Грандиозные открытия и достижения человечества. Мы много знаем, многое умеем. Кажется чем-то сверхъестественным, что с помощью чисел и формул можно рассчитать полёт космического корабля, «экономическую ситуацию» в стране, погоду на «завтра», описать звучание нот в мелодии. Нам известно высказывание древнегреческого математика, философа, жившего в IV веке д.н.э. – Пифагора– «Всё есть число!».

Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение старинных способов вычислений показало, что это арифметические действия были трудными и сложными из-за многообразия способов и их громоздкости выполнения.

Современные способы вычислений просты и доступны всем.

При знакомстве с научной литературой обнаружил более быстрые и надежные способы вычислений.

Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.

Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математиков. Его математическое дарование проявилось уже в детстве. Однажды в школе (Гауссу было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. На его грифельной доске было написано: 101·50=5050. Как он вычислил? Очень просто – он применил прием быстрого счета, он складывал первое число с последним, второе с предпоследним и т.д. таких сумм всего 50 и каждая равна 101, поэтому он смог почти мгновенно дать правильный ответ.

1+2+…+50+51+...+99+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101·50=5050. Этот пример, лучше всего показывает, что можно считать быстро и правильно практически устно всем школьникам, для этого всего лишь нужно знать приемы быстрого счета.

Результаты своей работы я оформил в памятку, которую предложу всем своим одноклассникам, также размещу её на школьном тематическом стенде «Это интересно!». Возможно, что с первого раза не у всех получится быстро, с ходу выполнять вычисления с применением этих приемов, даже если сначала не получится использовать прием, показанный в памятке, ничего страшного, просто нужна постоянная вычислительная тренировка. Она и поможет приобрести полезные навыки быстрого счета.

Проведя статистическую обработку данных, были получены следующие результаты:

1. Уметь считать нужно, потому, что это пригодится в жизни, считают 93% учащихся, чтобы хорошо учиться в школе – 72%, чтобы быстро решать – 61%, чтобы быть грамотным – 34% и не обязательно уметь считать – всего 3%.
2. Навыки хорошего счета необходимы при изучении математики, считают 100% учащихся, а также при изучении физики – 90%, химии – 80%, информатики – 44%, технологии – 36%.
3. Приемы быстрого счета знают 16% (много приемов), 25% (несколько приемов), не знают приемов быстрого счета – 59% учащихся.
4. Применяют приемы быстрого счета 21% учащихся, иногда применяют – 15%.
5. Хотели бы узнать приемы быстрого счета 93% учащихся.

Выводы:

1. Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.
2. В школьных учебниках практически нет приемов быстрого счета, поэтому результат данной работы – памятка для быстрого счета будет очень полезной для учащихся 5-6 классов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара: Издательский дом «Фёдоров», 1999г.
2. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.
3. Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение», 1982г.
4. Свечников А.А. Числа, фигуры, задачи. М., Просвещение, 1977г. Да Нет Не знаю https://accounts.google.com

Процесс устного счёта можно рассматривать как технологию счёта, объединяющую представления и навыки человека о числах, математические алгоритмы арифметики.

Имеются три вида технологии устного счёта , которые используют различные физические возможности человека:

аудиомоторная технология счёта;

визуальная технология счёта.

Характерной особенностью аудиомоторного устного счёта является сопровождение каждого действия и каждого числа словесной фразой типа «дважды два - четыре». Традиционная система счёта является именно аудиомоторной технологией. Недостатками аудиомоторного способа ведения расчётов являются:

отсутствие в запоминаемой фразе взаимосвязей с соседними результатами,

невозможность выделить во фразах о таблице умножения отдельно десятки и единицы произведения без повторения всей фразы;

невозможность обратить фразу вспять от ответа к множителям, что важно для выполнения деления с остатком;

медленная скорость воспроизведения словесной фразы.

Супервычислители, демонстрируя высокие скорости мышления, используют свои визуальные способности и отличную зрительную память. Люди, которые владеют скоростными вычислениями, не используют слов в процессе решения арифметического примера в уме. Они демонстрируют реальность визуальной технологии устного счёта , лишённой главного недостатка - замедленной скорости выполнения элементарных действий с числами.

Возможно, и наши способы умножения не является совершенным; может быть будет придуман еще более быстрый и надежный.

Конечно, знать все способы быстрого счета невозможно, но наиболее доступные можно изучить и применять.

Тренировка устного счёта.

Есть люди, которые умеют совершать несложные арифметические операции в уме. Умножить двузначное число на однозначное, умножать в пределах 20, перемножить два небольших двузначных числа и т.д. – все эти действия они могут производить в уме и достаточно быстро, быстрее среднего человека. Часто этот навык оправдан необходимостью постоянного практического использования. Как правило, люди, которые хорошо считают в уме, имеют математическое образование или, по крайней мере, опыт решения многочисленных арифметических задач.

Несомненно, опыт и тренировка играет важнейшую роль в развитии любых способностей. Но навык устного счета не опирается на один лишь опыт. Это доказывают люди, которые, в отличие от вышеописанных, способны считать в уме гораздо более сложные примеры. Например, такие люди могут умножать и делить трехзначные числа, совершать сложные арифметические операции, которые не каждый человек и в столбик сможет посчитать.

Что же необходимо знать и уметь обычному человеку, чтобы овладеть такой феноменальной способностью? На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме. Изучив многие подходы к обучению навыку считать устно, можно выделить 3 основных составляющих данного навыка:

1. Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2. Алгоритмы. Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3. Тренировка и опыт, значение которых для любого навыка никто не отменял. Постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнения позволят вам улучшить скорость и качество устного счета.

Нужно отметить, что третий фактор имеет ключевое значение. Не обладая необходимым опытом, вы не сможете удивить окружающих быстрым счетом, даже если вы знаете самый удобный алгоритм. Однако не стоит недооценивать важность первых двух составляющих, поскольку имея в своем арсенале способности и набор нужных алгоритмов, вы сможете «переплюнуть» даже самого опытного «счетовода», при условии, что вы тренировались одинаковое время.

Несколько способов устного счета:

1. Умножение на 5 удобнее так: сначала умножить на 10, а потом разделить на 2

2. Умножение на 9. Для того чтобы умножить число на 9 надо к множимому приписать 0 и от получаемого числа отнять множимое, например 45 9=450-45=405.

3. Умножение на 10. Приписать справа нуль: 48 10 = 480

4. Умножение на 11. двузначного числа . Раздвинуть цифры N и A, вписать посередине сумму (N+A).

например, 43 11 = = = 473.

5. Умножение на 12. производится примерно так же, как и на 11. Каждую цифру числа удваиваем и прибавляем к результату соседа исходной цифры справа.

Примеры. Умножим на .

Начнем с самой правой цифры – это . Удвоим и добавим соседа (его нет в данном случае). Получаем . Запишем и запомним .

Перейдем влево к следующей цифре . Удвоим , получим , добавим соседа, , получим , прибавим . Запишем и запомним .

Перейдем влево к следующей цифре, . Удвоим , получим . Добавим соседа, и получим . Прибавим , которую запоминали, получим . Запишем и запомним .

Перейдем влево к несуществующей цифре – нулю. Удвоим его, получим и добавим соседа, , что даст нам . Наконец, добавим , которую запоминали, получим . Запишем . Ответ: .

6. Умножение и деление на 5, 50, 500 и т. д.

Умножение на 5, 50, 500 и т. д. заменяется умножением на 10, 100,1000 и т. д. с последующим делением на 2 полученного произведения (или делением на 2 и умножением на 10, 100, 1000 и т. д.). (50 = 100: 2 и т.д.)

54 5=(54 10):2=540:2=270 (54 5 = (54:2) 10= 270).

Чтобы число разделить на 5,50, 500 и т. д., надо это число разделить на 10,100,1000 и т. д. и умножить на 2.

10800: 50 = 10800:100 2 =216

10800: 50 = 10800 2:100 =216

7. Умножение и деление на 25, 250, 2500 и т. д.

Умножение на 25, 250, 2500 и т. д. заменяется умножением на 100,1000,10000 и т. д. и полученный результат разделить на 4. (25 = 100: 4)

542 25=(542 100):4=13550 (248 25=248: 4 100 = 6200)

(если число делится на 4, то выполнение умножения не занимает времени, любой ученик может выполнить).

Чтобы выполнить деление числа на 25, 25,250,2500 и т. д. это число надо разделить на 100,1000,10000 и т.д. и умножить на 4: 31200: 25 = 31200:100 4 = 1248.

8. Умножение и деление на 125, 1250, 12500 и т. д.

Умножение на 125, 1250 и т. д. заменяется умножением на 1000, 10000 и т. д. и полученное произведение нужно делить на 8. (125 = 1000: 8)

72 125=72 1000: 8=9000

Если число делится на 8, то сначала выполним деление на 8 , а потом умножение на 1000,10000 и т. д.

48 125 = 48: 8 1000 = 6000

Чтобы разделить число на 125, 1250 и т.д., надо это число разделить на 1000, 10000 и т. д. и умножить на 8.

7000: 125 = 7000: 10008 = 56.

9. Умножение и деление на 75, 750 и т. д.

Чтобы число умножить на 75, 750и т. д. надо это число разделить на 4 и умножить на 300, 3000 и т.д. (75 = 300: 4)

4875 = 48:4300 = 3600

Чтобы число разделить на 75,750 и т. д. надо это число разделить на 300, 3000 и т.д. и умножить на 4

7200: 75 = 7200: 3004 = 96.

10. Умножение на 15, 150.

При умножении на 15, если число нечетное, умножают его на 10 и прибавляют половину полученного произведения:

23 15=23 (10+5)=230+115=345;

если же число четное, то поступаем еще проще - к числу прибавляем его половину и результат умножаем на 10:

18 15=(18+9) 10=27 10=270.

При умножении числа на 150 пользуемся тем же приемом и умножаем результат на 10, т.к.150=15 10:

24 150=((24+12) 10) 10=(36 10) 10=3600.

Точно так же быстро умножить двузначное число (особенно четное) на двузначное, оканчивающиеся на 5:

24 35 = 24 (30 +5) = 24 30+24:2 10 = 720+120=840.

11. Перемножение двузначных чисел, меньших, чем 20.

К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на 10 и прибавить к ней произведение единиц данных чисел:

18 16=(18+6) 10+8 6= 240+48=288.

Описанным способом можно умножать двузначные числа, меньшие 20, а также числа, в которых одинаковое количество десятков: 23 24 = (23+4) 20+4 6=27 20+12=540+12=562.

Объяснение :

(10+a) (10+b) = 100 + 10a + 10b + a b = 10 (10+a+b) + a b = 10 ((10+a)+b) + a b .

12. Умножение двузначного числа на 101 .

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено.
Пример: 57 101 = 5757 57 --> 5757

Объяснение: (10a+b) 101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b
Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных - на 10001 и т.п.

13. Умножение на 22, 33, …, 99.

Чтобы двузначное число умножить 22,33, …,99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на 11:

15 33= 15 3 11=45 11=495.

14. Умножение двузначных чисел на 111 .

Сначала возьмём множимым такое двузначное число, сумма цифр которого меньше 10. Поясним на числовых примерах:

Так как 111=100+10+1, то 45 111=45 (100+10+1). При умножении двузначного числа, сумма цифр которого меньше 10, на 111, надо в середину между цифрами вставить два раза сумму цифр (т.е. чисел, ими изображаемых) его десятков и единиц 4+5=9. 4500+450+45=4995. Следовательно, 45 111=4995. Когда сумма цифр двузначного множимого больше или равна 10, например 68 11, надо сложить цифры множимого (6+8) и в середину между цифрами 6 и 8 вставить 2 раза единицы полученной суммы. Наконец, к составленному числу 6448 прибавить 1100. Следовательно, 68 111=7548.

15. Возведение в квадрат чисел, состоящих только из 1.

11 х 11 =121

111 х 111 = 12321

1111 х 1111 = 1234321

11111 х 11111 =123454321

111111 х 111111 = 12345654321

1111111 х 1111111 = 1234567654321

11111111 х 11111111 = 123456787654321

111111111 х 111111111 = 12345678987654321

Некоторые нестандартные приемы умножения.

Умножение числа на однозначный множитель.

Для умножения числа на однозначный множитель (например, 34 9) устно, необходимо выполнять действия, начиная со старшего разряда, последовательно складывая результаты (30 9=270, 4 9=36, 270+36=306).

Для эффективного устного счёта полезно знать таблицу умножения до 19*9. В этом случае умножение 147 8 выполняется в уме так: 147 8=140 8+7 8= 1120 + 56= 1176 . Однако, не зная таблицу умножения до 19 9, на практике удобнее вычислять все подобные примеры методом приведения множителя к базовому числу: 147 8=(150-3) 8=150 8-3 8=1200-24=1176, причем 150 8=(150 2) 4=300 4=1200.

Если одно из умножаемых раскладывается на однозначные множители, действие удобно выполнять, последовательно перемножая на эти множители, например, 225 6=225 2 3=450 3=1350. Также, проще может оказаться 225 6=(200+25) 6=200 6+25 6=1200+150=1350.

Умножение двузначных чисел.

1. Умножение на 37.

При умножении числа на 37, если данное число кратно 3,его делят на 3 и умножают на 111.

27 37=(27:3) (37 3)=9 111=999

Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37.

23 37=(24-1) 37=(24:3) (37 3)-37=888-37=851.

Легко запомнить произведение некоторых из них:

3 х 37 = 111 33 х 3367 = 111111

6 х 37 = 222 66 х 3367 = 222222

9 х 37 = 333 99 х 3367 = 333333

12 х 37 = 444 132 х 3367 = 444444

15 х 37 = 555 165 х 3367 = 555555

18 х 37 = 666 198 х 3367 = 666666

21 х 37 = 777 231 х 3367 = 777777

24 х 37 = 888 264 х 3367 = 888888

27 х 37 = 999 297 х 3367 = 99999

2. Если десятки двузначных чисел начнаются с одинаковой цифры, а сумма единиц равна 10 , то при их умножении находим произведение в таком порядке:

1) умножаем десятку первого числа на десятку второго большего на единицу;

2) умножаем единицы:

8 3х 8 7= 7221 ( 8х9=72 , 3х7=21)

5 6х 5 4=3024 ( 5х6=30 , 6х4=24)

1. Алгоритм перемножения двузначных чисел, близких к 100

Например: 97 х 96 = 9312

Здесь я пользуюсь таким алгоритмом: если хочешь перемножить два

двузначных числа, близких к 100, то поступай так:

1) найди недостатки сомножителей до сотни;

2) вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;

3) к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков

сомножителей до сотни.

В соответствующей литературе упоминаются такие способы умножения, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие. Я хотела узнать, какие ещё нестандартные приемы умножения существуют в математике? Оказывается их немало. Вот некоторые из этих приёмов.

Крестьянский метод:

Один из множителей увеличивается вдвое, пока другой параллельно уменьшается в столько же. Когда же частное становится равным единице, параллельно полученное произведение и есть искомый ответ.

Если же частное оказывается нечетным числом, то от него откидывают единицу и делят остаток. Потом произведения, которые стояли напротив нечетных частных прибавляют к полученному ответу

«Метод креста».

В этом методе множители записываются друг под другом и их цифры перемножаются по прямой и крест-накрест.

3 1 = 3 – последняя цифра.

2 1 + 3 3 = 11. Предпоследняя цифра – 1, еще 1 в уме.

2 3 = 6; 6 + 1 = 7 – это первая цифра произведения

Искомое произведение – 713.

Китайско-японский метод умножения.

Не секрет, что в разных странах методы преподавания разные. Оказывается, в Японии ученики первого класса могут перемножать трёхзначные числа, не зная таблицу умножения. Для этого используется . Логика метода понятна из рисунка. После рисования нужно всего лишь посчитать количество пересечений в каждой области.

Таким методом можно перемножать даже трёхзначные числа. Вероятно, когда дети позже выучат таблицу умножения, то смогут умножать более простым и быстрым способом, в столбик. Тем более что вышеупомянутый метод слишком трудоёмкий при умножении чисел вроде 89 и 98, потому что придётся рисовать 34 полоски и считать все пересечения. С другой стороны, в таких случаях можно использовать калькулятор. Многим покажется, что такой способ японского или китайского умножения слишком сложен и запутан, но это только на первый взгляд. Именно визуализация, то есть изображение всех точек пересечения прямых (множителей) на одной плоскости, дает нам зрительную поддержку, тогда как традиционный способ умножения подразумевает большое количество арифметических действий только в уме. Китайское или японское умножение помогает не только быстро и эффективно умножать двухзначные и трехзначные числа друг на друга без калькулятора, но и развивает эрудицию. Согласитесь, не каждый сможет похвастаться тем, что на практике владеет древнейшим китайским методом умножения ( ), который актуален и прекрасно работает и в современном мире.

Умножение можно выполнить, используя таблицу в виде матри ц :

43219876=?

Сначала пишем произведения чисел.
2. Находим суммы по диагонали:
36, 59, 70, 70, 40, 19, 6
3. Получим ответ с конца, "лишние" цифры прибавляя к переднему разряду: 2674196

Метод решётки.

Рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты. Следом квадратные клетки, делятся по диагонали. В каждую строчку запишем произведение цифр, стоящих над этой клеткой и справа от нее, при этом цифру десятков произведения напишем над косой чертой, а цифру единиц – под ней. Теперь складываем числа в каждой косой полосе, выполняя эту операцию, справа налево. Если же она окажется больше, чем 10, то пишем только цифру единиц суммы, а цифру десятков прибавляем к следующей сумме.

6

5

2

4

1 7

3

7

7

Пишем числа-ответы слева направо: 4, 5, 17, 20, 7, 5. Начиная справа, пишем, добавляя “лишние” цифры к “соседу”: 469075.

Получили: 725 х 647 = 469075 .