Закон вращения твердого тела. Вращательное движение тела

Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО" (рис. 1.14).

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы . Произведение силы на плечо определяет модуль мо­мента силы относительно точки О:

М = Fp=Frsinα.

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

(3.1) Единица момента силы - ньютон-метр (Н м).

Направление М можно найти с помощью правила правого винта.

Моментом импульса частицы называется векторное произведение радиус-вектора частицы на её импульс:

или в скалярном виде L = гPsinα

Эта величины векторная и совпадает по направлению с векторами ω.

§ 3.2 Момент инерции. Теорема Штейнера

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, назы­ваемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно оси враще­ния называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния её от оси:

I i =m i r i 2 (3.2)

Момент инерции тела относительно оси вращения называют сумму мо­ментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

(3.3)

В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокупность точек с малыми массами dm, момент инерции определяется интегрированием:

(3.4)

Если тело однородно и его плотность
, то момент инерции тела

(3.5)

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

    Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной стержню

(3.6)

    Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпен­дикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

(3.7)

    Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

(3.8)

    Момент инерции шара относительно диаметра

(3.9)

Рассмотрим пример. Определим момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной плоско­сти вращения. Масса диска - m, радиус - R.

Площадь кольца (рис. 3.2), заключенного между

r и r + dr, равна dS = 2πr·dr . Площадь диска S = πR 2 .

Следовательно,
. Тогда

или

Согласно

Приведенные формулы для моментов инерции тел даны при условии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует воспользоваться теоремой Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

(3.11)

Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате (кг· м 2).

Так, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

(3.12)

Момент силыF , действующей на тело, относительно оси вращения

,

где
- проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l - плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

Момент инерции относительно оси вращения:

а) материальной точки

J = mr 2 ,

где т - масса точки; r - расстояние ее от оси вращения;

б) дискретного твердого тела

где
- масса i-го элемента тела; r i - расстояние этого элемента от оси вращения; п - число элементов тела;

в) сплошного твердого тела

Если тело однородно, т. е. его плотность одинакова по всему объему, то

dm = dV и

где V - объем тела.

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы:

Ось, относительно которой определяется момент инерции

Формула момента инерции

Однородный тонкий стержень массой т и длиной l

Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой т, маховик радиусом R и массой т, распределенной по ободу

Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и массой т Однородный шар массой т и радиусом R

Проходит через центр тяжести стержня перпендикулярно стержню

Проходит через конец стержня перпендикулярно стержню

Проходит через центр перпендикулярно плоскости основания

Проходит через центр диска перпендикулярно плоскости основания

Проходит через центр шара

1/12ml 2

Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси

J = J 0 + ma 2 ,

где J 0 - момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а - расстояние между осями; m - масса тела.

Момент импульса вращающегося тела относительно оси

L = J
.

Закон сохранения момента импульса

где L i - момент импульса i-го тела, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел

где
- моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия:
- те же величины после взаимодействия.

Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется,

где
- начальный и конечный моменты инерции;
- начальная и конечная угловые скорости тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

M dt =d(J), где М - момент силы, действующей на тело в течение времени dt ;

J - момент инерции тела;
- угловая скорость; J - момент импульса.

Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде

М t =J
.

В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид

M =J , где - угловое ускорение.

Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся тело,

где  - угол поворота тела.

Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

N = M
.

Кинетическая энергия вращающегося тела

T =1/2 J .

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения,

T== 1 / 2 mv 2 + l / 2 J ,

где l / 2 mv 2 - кинетическая энергия поступательного движения тела; v - скорость центра инерции тела; l / 2 J ,- кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической энергии его связаны соотношением

Твёрдое тело, вращающееся вокруг некоторых осей, проходящих через центр масс, если оно освобождено от внешних воздействий, сохраняет вращение неопределённо долго . (Это заключение аналогично первому закону Ньютона для поступательного движения).

Возникновение вращения твёрдого тела всегда вызывается действием внешних сил, приложенных к отдельным точкам тела. При этом неизбежно возникновение деформаций и появление внутренних сил, обеспечивающих в случае твёрдого тела практическое сохранение его формы. При прекращении действия внешних сил вращение сохраняется: внутренние силы не могут ни вызвать, ни уничтожить вращение твёрдого тела.

Результатом действия внешней силы на тело, имеющее неподвижную ось вращения, является ускоренное вращательное движение тела . (Это заключение аналогично второму закону Ньютона для поступательного движения).

Основной закон динамики вращательного движения : в инерциальной системе отсчёта угловое ускорение , приобретаемое телом, вращающимся относительно неподвижной оси, пропорционально суммарному моменту всех внешних сил , действующих на тело, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно данной оси:

Можно дать и более простую формулировку основному закону динамики вращательного движения (его ещё называют вторым законом Ньютона для вращательного движения ): вращающий момент равен произведению момента инерции на угловое ускорение :

Моментом импульса (моментом количества движения , угловым моментом ) тела называется произведение его момента инерции на угловую скорость :

Момент импульса – векторная величина. Его направление совпадает с направлением вектора угловой скорости.

Изменение момента импульса определяется следующим образом:

. (I.112)

Изменение момента импульса (при неизменном моменте инерции тела) может произойти, только вследствие изменения угловой скорости и всегда обусловлено действием момента силы .

Согласно формуле , а также формулам (I.110) и (I.112) изменение момента импульса можно представить в виде:

. (I.113)

Произведение в формуле (I.113) называется импульсом момента силы или движущим моментом . Он равен изменению момента импульса.

Формула (I.113) справедлива при условии, что момент силы не меняется с течением времени . Если же момент силы зависит от времени, т.е. , то

. (I.114)

Формула (I.114) показывает, что: изменение момента импульса равно интегралу по времени от момента силы . Кроме того, если эту формулу представить в виде: , то из неё будет следовать определение момента силы : мгновенный момент силы представляет собой первую производную момента импульса по времени ,

Самое лучшее определение вращательного момента – это тенденция силы вращать предмет вокруг оси, точки опоры или точки вращения. Вращательный момент можно рассчитать с помощью силы и плеча момента (перпендикулярное расстояние от оси до линии действия силы), или используя момент инерции и угловое ускорение.

Шаги

Использование силы и плеча момента

  1. Определите силы, действующие на тело и соответствующие им моменты. Если сила не перпендикулярна рассматриваемому плечу момента (т.е. она действует под углом), то вам может понадобиться найти ее составляющие с использованием тригонометрических функций, таких как синус или косинус.

    • Рассматриваемая составляющая силы будет зависеть от эквивалента перпендикулярной силы.
    • Представьте себе горизонтальный стержень, к которому нужно приложить силу 10 Н под углом 30° над горизонтальной плоскостью, чтобы вращать его вокруг центра.
    • Поскольку вам нужно использовать силу, не перпендикулярную плечу момента, то для вращения стержня вам необходима вертикальная составляющая силы.
    • Следовательно, нужно рассматривать y-составляющую, или использовать F = 10sin30° Н.

  2. Воспользуйтесь уравнением момента, τ = Fr, и просто замените переменные заданными или полученными данными.

    • Простой пример: Представьте себе ребенка массой 30 кг, сидящего на одном конце качели-доски. Длина одной стороны качели составляет 1,5 м.
    • Поскольку ось вращения качели находится в центре, вам не нужно умножать длину.
    • Вам необходимо определить силу, прилагаемую ребенком, с помощью массы и ускорения.
    • Поскольку дана масса, вам нужно умножить ее на ускорение свободного падения, g, равное 9,81 м/с 2 . Следовательно:
    • Теперь у вас есть все необходимые данные для использования уравнения момента:

  3. Воспользуйтесь знаками (плюс или минус), чтобы показать направление момента. Если сила вращает тело по часовой стрелке, то момент отрицательный. Если же сила вращает тело против часовой стрелки, то момент положительный.

    • В случае нескольких приложенных сил, просто сложите все моменты в теле.
    • Поскольку каждая сила стремится вызвать различные направления вращения, важно использовать знак поворота для того, чтобы следить за направлением действия каждой силы.
    • Например, к ободу колеса, имеющего диаметр 0,050 м, были приложены две силы, F 1 = 10,0 Н, направленная по часовой стрелке, и F 2 = 9,0 Н, направленная против часовой стрелки.
    • Поскольку данное тело – круг, фиксированная ось является его центром. Вам нужно разделить диаметр и получить радиус. Размер радиуса будет служить плечом момента. Следовательно, радиус равен 0,025 м.
    • Для ясности мы можем решить отдельные уравнения для каждого из моментов, возникающих от соответствующей силы.
    • Для силы 1 действие направлено по часовой стрелке, следовательно, создаваемый ею момент отрицательный:
    • Для силы 2 действие направлено против часовой стрелки, следовательно, создаваемый ею момент положительный:
    • Теперь мы можем сложить все моменты, чтобы получить результирующий вращательный момент:

    Использование момента инерции и углового ускорения

    1. Чтобы начать решать задачу, разберитесь в том, как действует момент инерции тела. Момент инерции тела – это сопротивление тела вращательному движению. Момент инерции зависит как от массы, так и от характера ее распределения.

      • Чтобы четко понимать это, представьте себе два цилиндра одинакового диаметра, но разной массы.
      • Представьте себе, что вам нужно повернуть оба цилиндра вокруг их центральной оси.
      • Очевидно, что цилиндр с большей массой будет сложнее повернуть, чем другой цилиндр, поскольку он “тяжелее”.
      • А теперь представьте себе два цилиндра различных диаметров, но одинаковой массы. Чтобы выглядеть цилиндрическими и иметь разную массу, но в то же время иметь разные диаметры, форма, или распределение массы обоих цилиндров должна отличаться.
      • Цилиндр с большим диаметром будет выглядеть как плоская закругленная пластина, тогда как меньший цилиндр будет выглядеть как цельная трубка из ткани.
      • Цилиндр с большим диаметром будет сложнее вращать, поскольку вам нужно приложить большую силу, чтобы преодолеть более длинное плечо момента.

    2. Выберите уравнение, которое вы будете использовать для расчета момента инерции. Есть несколько уравнений, которые можно использовать для этого.

      • Первое уравнение – самое простое: суммирование масс и плечей моментов всех частиц.
      • Это уравнение используется для материальных точек, или частиц. Идеальная частица – это тело, имеющее массу, но не занимающее пространства.
      • Другими словами, единственной значимой характеристикой этого тела является масса; вам не нужно знать его размер, форму или строение.
      • Идея материальной частицы широко используется в физике с целью упрощения расчетов и использования идеальных и теоретических схем.
      • Теперь представьте себе объект вроде полого цилиндра или сплошной равномерной сферы. Эти предметы имеют четкую и определенную форму, размер и строение.
      • Следовательно, вы не можете рассматривать их как материальную точку.
      • К счастью, можно использовать формулы, применимые к некоторым распространенным объектам:

    3. Найдите момент инерции. Чтобы начать рассчитывать вращательный момент, нужно найти момент инерции. Воспользуйтесь следующим примером как руководством:

      • Два небольших “груза” массой 5,0 кг и 7,0 кг установлены на расстоянии 4,0 м друг от друга на легком стержне (массой которого можно пренебречь). Ось вращения находится в середине стержня. Стержень раскручивается из состояния покоя до угловой скорости 30,0 рад/с за 3,00 с. Рассчитайте производимый вращательный момент.
      • Поскольку ось вращения находится в середине стержня, то плечо момента обоих грузов равно половине его длины, т.е. 2,0 м.
      • Поскольку форма, размер и строение “грузов” не оговаривается, мы можем предположить, что грузы являются материальными частицами.
      • Момент инерции можно вычислить следующим образом:

    4. Найдите угловое ускорение, α. Для расчета углового ускорения можно воспользоваться формулой α= at/r.

      • Первая формула, α= at/r, может использоваться в том случае, если дано тангенциальное ускорение и радиус.
      • Тангенциальное ускорение – это ускорение, направленное по касательной к направлению движения.
      • Представьте себе объект, двигающийся по криволинейному пути. Тангенциальное ускорение – это попросту его линейное ускорение на любой из точек всего пути.
      • В случае второй формулы, легче всего проиллюстрировать ее, связав с понятиями из кинематики: смещением, линейной скоростью и линейным ускорением.
      • Смещение – это расстояние, пройденное объектом (единица СИ – метры, м); линейная скорость – это показатель изменения смещения за единицу времени (единица СИ – м/с); линейное ускорение – это показатель изменения линейной скорости за единицу времени (единица СИ – м/с 2).
      • Теперь давайте рассмотрим аналоги этих величин при вращательном движении: угловое смещение, θ – угол поворота определенной точки или отрезка (единица СИ – рад); угловая скорость, ω – изменение углового смещения за единицу времени (единица СИ – рад/с); и угловое ускорение, α – изменение угловой скорости за единицу времени (единица СИ – рад/с 2).
      • Возвращаясь к нашему примеру – нам были даны данные для углового момента и время. Поскольку вращение начиналось из состояния покоя, то начальная угловая скорость равна 0. Мы можем воспользоваться уравнением, чтобы найти:

    5. Воспользуйтесь уравнением, τ = Iα, чтобы найти вращательный момент. Просто замените переменные ответами, полученными на предыдущих шагах.

      • Вы можете заметить, что единица "рад" не подходит к нашим единицам измерения, поскольку считается безразмерной величиной.
      • Это значит, что вы можете пренебречь ею и продолжить ваши расчеты.
      • Для анализа единиц измерения мы можем выразить угловое ускорение в с -2 .
    • В первом методе, если тело является кругом и ось его вращения находится в центре, то рассчитывать составляющие силы не нужно (при условии, что сила не приложена под наклоном), поскольку сила лежит на касательной к окружности, т.е. перпендикулярно плечу момента.
    • Если вам сложно представить, как происходит вращение, то возьмите ручку и попробуйте воссоздать задачу. Для более точного воспроизведения не забудьте скопировать положение оси вращения и направление приложенной силы.
Рекомендуем почитать